Задание 3 ОГЭ по математике: путешествия, квартиры, тарифы

Что проверяет задание

Задание 3 проверяет умение применять школьную математику к реальным ситуациям: маршрутам путешествий, планировке жилья и участков, тарифам связи и бытовых услуг. Проверяются: работа с масштабом и планом, теорема Пифагора, формулы скорости, расстояния и времени, вычисление площади и периметра по клеткам, построение и сравнение линейных зависимостей (тарифов), а также разумное округление результата. Задание не требует развёрнутого решения — нужен только числовой ответ, но получить его без ошибок можно только при аккуратной работе с данными из текста и рисунка.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Условие состоит из текстового описания ситуации (поездка, участок, тариф) и сопровождающего материала — плана на клетчатой сетке, таблицы тарифов или схемы. Вопрос обычно один: найти расстояние, время, стоимость, площадь или количество чего-либо (упаковок, рулонов, минут). Ответ — целое число или конечная дробь, которую иногда нужно округлить по смыслу задачи. За верный ответ даётся 1 балл; частичное решение не оценивается, засчитывается только итоговое число.

Что нужно знать

• Связь скорости, расстояния и времени: $S=v\cdot t$, $t=\dfrac{S}{v}$, $v=\dfrac{S}{t}$.
• Перевод единиц: 1 ч = 60 мин, 1 км = 1000 м; при разных скоростях на участках время считается отдельно для каждого участка и складывается.
• Теорема Пифагора для прямого угла: $c=\sqrt{a^2+b^2}$ — нужна для «диагональных» дорог и расстояний по плану напрямую.
• Масштаб плана: реальное расстояние равно числу клеток, умноженному на длину стороны клетки.
• Площадь и периметр прямоугольника: $S=a\cdot b$, $P=2(a+b)$; площадь фигуры на клетчатой сетке — сумма площадей простых частей (прямоугольники, треугольники).
• Площадь треугольника: $S=\dfrac12 a h$.
• Линейная модель стоимости: $C(n)=C_0+p\cdot n$, где $C_0$ — фиксированная часть (абонентская плата), $p$ — цена за единицу, $n$ — количество единиц.
• Правило округления «по смыслу»: если считаем, сколько единиц нужно купить или заказать, чтобы точно хватило, округляем вверх; если считаем, сколько уместится при ограниченном ресурсе, округляем вниз.

Методы решения

1. Метод «скорость–расстояние–время» (путешествия). Если участков несколько и скорости различны, время считают по каждому участку отдельно, потом складывают. Мини-пример: 90 км по шоссе на скорости 60 км/ч — время $t=90/60=1{,}5$ ч, то есть 90 минут.

2. Теорема Пифагора для диагоналей (путешествия, участки). Если дорога или граница участка идёт напрямую через клетки плана, а не вдоль линий сетки, длину находят как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами, равными числу клеток по горизонтали и вертикали. Мини-пример: катеты 3 и 4 клетки при стороне клетки 2 км — гипотенуза $\sqrt{3^2+4^2}=5$ клеток, то есть 10 км.

3. Подсчёт по клеткам и вычисление площади (квартиры, участки). Площадь фигуры на плане находят, разбивая её на прямоугольники и треугольники, площадь каждой части считают через масштаб клетки. Мини-пример: участок 5×4 клетки при стороне клетки 3 м — площадь $5\cdot4\cdot3^2=180$ м².

4. Линейное сравнение тарифов (связь, шины, печки). Стоимость каждого варианта записывают как функцию количества единиц $C=C_0+pn$ и сравнивают, приравнивая или решая неравенство. Мини-пример: тариф А стоит $300+2n$ рублей, тариф Б — $500+n$ рублей; тарифы совпадают при $n=200$, при бóльших значениях выгоднее тариф Б.

5. Осмысленное округление. Когда ответ — количество упаковок, минут разговора, листов и подобного, результат деления округляют вверх, если ресурса не хватает при округлении вниз. Мини-пример: нужно 27,3 м² обоев, в рулоне 5 м² — требуется $\lceil 27{,}3/5\rceil=6$ рулонов.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, что именно требуется найти — расстояние, время, стоимость, площадь или количество.
2. Выписать все числовые данные из текста и рисунка или таблицы, включая масштаб и скорости или тарифы.
3. Перевести все величины в единые единицы измерения.
4. Составить формулу или уравнение под конкретный вопрос задачи.
5. Если есть несколько вариантов — маршруты, тарифы — посчитать значение для каждого и сравнить.
6. Округлить результат в нужную сторону, если это требуется по смыслу задачи.
7. Проверить, что ответ соответствует формату вопроса.
8. Записать итоговое число как ответ.

Разбор примеров

Пример 1. Из деревни Ушаково в село Бережки можно доехать тремя способами: напрямую по грунтовой дороге; по шоссе через Дубенки и Афонино с поворотом на 90° в Афонино; по шоссе до Дубенков, а дальше напрямую по грунтовой дороге мимо озера. Сторона клетки плана — 2 км, скорость по шоссе 60 км/ч, по грунтовой дороге — 50 км/ч. По плану участки шоссе составляют: Ушаково–Дубенки — 11 клеток, Дубенки–Афонино — 3 клетки, Афонино–Бережки — 4 клетки.

Считаем все три маршрута.

Шоссе целиком: расстояние $(11+3+4)\cdot2=36$ км, время $36/60=0{,}6$ ч, то есть 36 минут.

Смешанный маршрут: поворот в Афонино прямой, поэтому расстояние Дубенки–Бережки напрямую равно $\sqrt{3^2+4^2}=5$ клеток, то есть 10 км. Время: по шоссе $11\cdot2/60=22$ минуты, по грунтовой дороге $10/50=0{,}2$ ч, то есть 12 минут; всего 34 минуты.

Прямая грунтовая дорога Ушаково–Бережки: смещение по горизонтали $11+3=14$ клеток, по вертикали 4 клетки, расстояние $\sqrt{14^2+4^2}\approx14{,}56$ клеток, то есть примерно 29,12 км, время примерно 34,94 минуты.

Сравнивая три результата — 36; 34 и 34,94 минуты — видим, что быстрее всего доехать вторым способом: по шоссе до Дубенков, а затем напрямую по грунтовой дороге мимо озера. Ответ: 34.

Пример 2. Та же схема для пути Александровка–Фомино, сторона клетки 3 км, скорость по шоссе 60 км/ч, по грунтовой дороге — 50 км/ч. По плану: Александровка–Новомальцево — 9 клеток, Новомальцево–Парахино — 3 клетки, Парахино–Фомино — 4 клетки, поворот на 90° в Парахино.

Шоссе целиком: $(9+3+4)\cdot3=48$ км, время 48 минут.

Шоссе до Новомальцева плюс грунтовая напрямую мимо озера: грунтовый участок $\sqrt{3^2+4^2}=5$ клеток, то есть 15 км; время $9\cdot3/60=27$ минут по шоссе плюс $15/50=0{,}3$ ч, то есть 18 минут по грунтовой дороге; всего 45 минут.

Прямая грунтовая дорога целиком: $\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}\approx12{,}65$ клеток, то есть около 37,95 км, время примерно 45,54 минуты.

Минимальное время — 45 минут, через смешанный маршрут. Ответ: 45.

Пример 3. Путь Осинки–Кудрино, сторона клетки 2 км, скорость по шоссе 60 км/ч, по грунтовой дороге — только 40 км/ч. По плану: Осинки–Илькино — 13 клеток, Илькино–Кулаки — 3 клетки, Кулаки–Кудрино — 4 клетки, поворот на 90° в Кулаках.

Шоссе целиком: $(13+3+4)\cdot2=40$ км, время 40 минут.

Шоссе до Илькина плюс грунтовая напрямую мимо озера: грунтовый участок $\sqrt{3^2+4^2}=5$ клеток, то есть 10 км; время $13\cdot2/60\approx26$ минут по шоссе плюс $10/40=0{,}25$ ч, то есть 15 минут по грунтовой дороге; всего 41 минута.

Прямая грунтовая дорога целиком: $\sqrt{16^2+4^2}=\sqrt{272}\approx16{,}49$ клеток, то есть около 32,98 км, время примерно 49,48 минуты.

Здесь низкая скорость по грунтовой дороге «съедает» выгоду от сокращения расстояния, поэтому быстрее всего чистое шоссе. Ответ: 40.

Вывод из трёх примеров: маршрут нельзя выбирать «на глаз» по длине пути — при разных скоростях на участках выигрывает не самый короткий, а самый быстрый по времени вариант. Нужно считать все варианты и сравнивать именно время.

Типичные ошибки и ловушки

• Забыть перевести часы в минуты или наоборот, если в вопросе требуется другая единица измерения.
• Применить одну скорость ко всему пути, хотя на разных участках она разная — шоссе и грунтовая дорога.
• Перепутать катет с гипотенузой при использовании теоремы Пифагора: гипотенуза всегда длиннее любого катета.
• Ограничиться сравнением расстояний, а не времени: короче не значит быстрее.
• Не учесть фиксированную часть тарифа — абонентскую плату — при сравнении двух вариантов связи.
• Округлить результат в неправильную сторону, например купить на одну упаковку меньше нужного.
• Ошибиться при подсчёте клеток на плане, особенно если фигура повёрнута или разбита на несколько частей.

Как готовиться

Разбирать задачи каждой подтемы отдельно: сначала маршруты с планом и разными скоростями, затем задачи на площадь и масштаб участков, затем сравнение тарифов связи и бытовых услуг. Формулы из раздела «Что нужно знать» стоит выучить так, чтобы применять их без раздумий. На тренировках всегда считать все предложенные варианты — маршруты или тарифы, — а не только первый попавшийся. Отдельно потренироваться на задачах с округлением, чтобы не путаться, в какую сторону округлять результат. Полезно решать вариант целиком на время: задание 3 должно занимать не больше двух-трёх минут, если данные аккуратно выписаны из условия и рисунка.