Задание 21 ОГЭ: текстовые задачи на проценты, движение и работу

Что проверяет задание

Задание 21 ОГЭ проверяет умение переводить условие текстовой задачи на язык алгебры: вводить переменные, составлять уравнение или систему уравнений и доводить решение до числового ответа. Здесь нет готовых вариантов ответа — нужно самостоятельно построить модель задачи и решить её.

Основные группы задач:

• задачи на проценты, сплавы и смеси (концентрация вещества в растворе);
• задачи на движение по прямой (встречное, попутное движение, движение с отставанием);
• задачи на движение по воде (течение реки помогает или мешает);
• задачи на совместную работу (несколько исполнителей выполняют одну работу).

Все эти задачи объединяет общий принцип: некоторая величина (масса вещества, путь, объём работы) складывается или распределяется по частям, и нужно записать это как равенство.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание сформулировано как текстовая задача с конкретными числовыми данными (проценты концентраций, масса растворов, скорости, время, объём работы). Ответ — это число (иногда дробь или десятичная дробь), которое нужно вписать в бланк без указания единиц измерения, если не оговорено иное.

За это задание в ОГЭ можно получить максимум 2 балла:

• 2 балла — верный ответ, полученный с обоснованным решением;
• 1 балл — верная последовательность действий, но с вычислительной ошибкой, приведшей к неверному ответу;
• 0 баллов — решение отсутствует или принципиально неверно.

Чтобы претендовать на максимальный балл, важно не просто угадать число, а показать уравнение или систему, из которой оно получено.

Что нужно знать

Проценты, сплавы и смеси

• Концентрация вещества в растворе: $c = \dfrac{m_{в}}{m_{р}}$, где $m_{в}$ — масса растворённого вещества, $m_{р}$ — масса всего раствора (концентрацию можно выражать в долях или умножать на 100%, чтобы получить проценты).
• Масса вещества через концентрацию: $m_{в} = c \cdot m_{р}$.
• Баланс вещества при смешивании: $m_1 c_1 + m_2 c_2 = (m_1+m_2)\,c_{смеси}$.
• Правило рычага (пропорция смешивания): если $c_1 < c < c_2$, то $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{c_2 - c}{c - c_1}$.
• Особый случай: если смешивают равные массы двух растворов, концентрация смеси равна среднему арифметическому: $c_{смеси} = \dfrac{c_1+c_2}{2}$.

Движение

• Основная формула: $S = v \cdot t$, откуда $v = \dfrac{S}{t}$, $t = \dfrac{S}{v}$.
• При встречном движении скорости складываются: $v_{сближ} = v_1 + v_2$.
• При движении в одном направлении с разными скоростями расстояние между объектами меняется со скоростью $|v_1 - v_2|$.

Движение по воде

• Скорость по течению: $v_{по} = v + v_{теч}$.
• Скорость против течения: $v_{против} = v - v_{теч}$.
• Собственная скорость судна: $v = \dfrac{v_{по}+v_{против}}{2}$, скорость течения: $v_{теч} = \dfrac{v_{по}-v_{против}}{2}$.

Совместная работа

• Если весь объём работы принять за 1, то производительность исполнителя за единицу времени $t$: $p = \dfrac{1}{t}$.
• При совместной работе производительности складываются: $p_1+p_2 = \dfrac{1}{t_{общ}}$.
• Объём выполненной работы за время $t$: $A = p \cdot t$.

Методы решения

1. Метод баланса массы вещества (смеси и сплавы). Составляем уравнение: масса вещества до смешивания равна массе вещества после. Пример: смешали 5 кг раствора 20% и 10 кг раствора 50%. Масса вещества: $5\cdot 0{,}2 + 10\cdot 0{,}5 = 1+5=6$ кг на общую массу 15 кг, концентрация смеси $6/15=0{,}4=40\%$.

2. Правило рычага (пропорция для смесей). Если известны концентрации исходных растворов и смеси, но не массы — используем пропорцию $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{c_2-c}{c-c_1}$. Пример: смешали раствор 30% и раствор 60%, получили 40%. Тогда $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{60-40}{40-30}=\dfrac{20}{10}=2$, то есть первого раствора взяли в 2 раза больше.

3. Уравнение движения через путь-скорость-время. Вводим переменную (обычно скорость или время), выражаем путь каждого участника, приравниваем суммарный путь общему расстоянию или составляем равенство времён. Пример: два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, расстояние 24 км, встретились через 3 часа при разности скоростей 2 км/ч. Составляем: $(v+2)\cdot3 + v\cdot3 = 24$, откуда $v=3$ км/ч.

4. Метод скоростей по/против течения. Вводим собственную скорость судна $v$ и скорость течения $v_{теч}$, записываем время движения по течению и против как $t=\dfrac{S}{v+v_{теч}}$ и $t=\dfrac{S}{v-v_{теч}}$, затем связываем их через разницу времени, данную в условии. Пример: катер проходит 30 км по течению и 30 км против за 4 часа при скорости течения 2 км/ч — получаем уравнение $\dfrac{30}{v+2}+\dfrac{30}{v-2}=4$.

5. Метод объёма работы, равного 1 (совместная работа). Весь объём принимаем за единицу, вводим время каждого исполнителя или его производительность, составляем уравнение через сложение производительностей. Пример: первый рабочий выполняет работу за 6 часов, второй — за 12 часов. Вместе за час они делают $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{4}$ часть работы, то есть справятся за 4 часа.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и определить тип задачи (смеси, движение, работа) — это подскажет, какую формулу использовать.
2. Выделить все данные величины и то, что нужно найти. Обозначить неизвестную величину буквой (обычно $x$) — выбрать её так, чтобы остальные величины выражались просто.
3. Выразить через $x$ все остальные нужные величины, используя формулы концентрации, движения или работы.
4. Составить уравнение или систему уравнений на основе физического смысла: баланс массы вещества, равенство времени, равенство пройденного пути или равенство выполненной работы.
5. Решить уравнение (систему), учитывая естественные ограничения (масса, скорость, время не могут быть отрицательными, концентрация — от 0 до 100%).
6. Проверить, что найденное значение подходит по смыслу задачи, и вернуться к исходному вопросу — иногда искомая величина не совпадает с введённой переменной напрямую.

Разбор примеров

Пример 1. Смешали раствор с концентрацией 40% и раствор с концентрацией 48%, получили раствор 42%. Найти отношение масс первого раствора ко второму.

Шаг 1. Обозначим массы через $m_1$ и $m_2$. Концентрации: $c_1=40\%$, $c_2=48\%$, $c=42\%$. Так как $c_1<c<c_2$, применимо правило рычага.

Шаг 2. Записываем пропорцию: $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{c_2-c}{c-c_1}$.

Шаг 3. Подставляем числа: $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{48-42}{42-40}=\dfrac{6}{2}=3$.

Шаг 4. Проверка смысла: концентрация смеси (42%) ближе к концентрации первого раствора (40%), значит первого раствора должно быть больше — это согласуется с результатом $m_1:m_2=3:1$.

Ответ: $\dfrac{3}{1}$.

Пример 2. Смешали раствор кислоты 20% и раствор 50%, получили раствор 30%. Найти отношение масс первого раствора ко второму.

Шаг 1. Данные: $c_1=20\%$, $c_2=50\%$, $c=30\%$.

Шаг 2. Применяем ту же пропорцию: $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{c_2-c}{c-c_1}=\dfrac{50-30}{30-20}=\dfrac{20}{10}=2$.

Шаг 3. Проверка: концентрация смеси (30%) ближе к 20%, чем к 50%, значит первого раствора взято больше — соответствует отношению $2:1$.

Ответ: $\dfrac{2}{1}$.

Пример 3. Есть два сосуда с раствором кислоты: 10 кг и 16 кг разной концентрации. Если слить их вместе, получится раствор с концентрацией 55%. Если слить равные массы этих растворов, получится раствор 61%. Найти массу кислоты в первом растворе.

Шаг 1. Обозначим концентрации (в долях) первого и второго растворов как $x$ и $y$ соответственно. Тогда масса чистой кислоты в первом сосуде равна $10x$, во втором — $16y$.

Шаг 2. Составляем уравнение по условию полного слияния. Общая масса раствора: $10+16=26$ кг, концентрация смеси: $0{,}55$. Баланс вещества: $$10x+16y=0{,}55\cdot26=14{,}3.$$

Шаг 3. Составляем второе уравнение по условию слияния равных масс. Если взять по $m$ кг из каждого сосуда (масса $m$ одинакова, поэтому она сокращается), концентрация смеси равна среднему арифметическому концентраций: $$\dfrac{x+y}{2}=0{,}61 \;\Rightarrow\; x+y=1{,}22.$$

Шаг 4. Получаем систему: $$\begin{cases}10x+16y=14{,}3\\ x+y=1{,}22\end{cases}$$

Из второго уравнения: $y=1{,}22-x$. Подставляем в первое: $$10x+16(1{,}22-x)=14{,}3$$ $$10x+19{,}52-16x=14{,}3$$ $$-6x=14{,}3-19{,}52=-5{,}22$$ $$x=0{,}87.$$

Шаг 5. Найдём массу кислоты в первом растворе: $m_{кисл,1}=10x=10\cdot0{,}87=8{,}7$ кг.

Шаг 6. Проверка: тогда $y=1{,}22-0{,}87=0{,}35$, масса кислоты во втором сосуде $16\cdot0{,}35=5{,}6$ кг. Суммарно: $8{,}7+5{,}6=14{,}3$ кг — совпадает с первым уравнением. При слиянии равных масс: $(0{,}87+0{,}35)/2=0{,}61$ — совпадает со вторым условием.

Ответ: 8,7.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между процентами и долями. Если концентрация дана в процентах, а в формулу подставляется без деления на 100, результат окажется в 100 раз больше нужного. Нужно чётко решить, работать в долях (0,4) или в процентах (40), и не смешивать эти два представления в одном уравнении.
• Забывают, что при слиянии равных масс концентрация смеси — это среднее арифметическое, а не средневзвешенное с учётом масс. Этот частный случай стоит запомнить отдельно, так как он часто встречается в задачах повышенной сложности (как в примере 3).
• Ошибка в знаке при движении по/против течения. Нужно чётко понимать, что течение увеличивает скорость движения по течению и уменьшает — против. Перепутанный знак делает всю систему уравнений неверной.
• Неверный выбор переменной. Если ввести переменную неудачно (например, обозначить время вместо скорости там, где скорость выражается проще), уравнение получается более сложным и увеличивается риск арифметической ошибки.
• Путают «во сколько раз» и «на сколько». Формулировки вида «скорость увеличилась на 20%» и «скорость стала в 1,2 раза больше» эквивалентны, но их легко перепутать с «увеличилась в 20 раз» или «на 20 км/ч» — нужно точно читать условие.
• Забывают проверить ответ на соответствие смыслу задачи. Отрицательные значения массы, скорости или времени, а также концентрации больше 100% или меньше 0% свидетельствуют об ошибке в уравнении или в выборе корня квадратного уравнения.
• Не приводят единицы измерения к одному виду (например, минуты и часы, километры и метры) перед составлением уравнения.

Как готовиться

Чтобы уверенно решать задание 21, полезно выработать привычку сначала классифицировать задачу (смеси, движение, вода, работа), а затем сразу вспоминать подходящую формулу или правило — рычаг для смесей, разложение скорости для движения по воде, сложение производительностей для совместной работы. Рекомендуется:

• решить по 10–15 задач каждого типа, начиная с простых (одна переменная, одно уравнение) и переходя к системам из двух уравнений, как в примере с двумя сосудами;
• отдельно потренироваться на задачах, где смешивают равные массы — это частая ловушка, если не помнить правило среднего арифметического;
• для задач на движение по воде выучить наизусть формулы скорости по и против течения и всегда проверять, какая скорость больше;
• в задачах на совместную работу тренироваться быстро переводить время выполнения работы в производительность и обратно;
• после каждой решённой задачи обязательно делать проверку — подставлять найденные числа обратно в условие, чтобы убедиться, что все данные (концентрации, расстояния, время) совпадают;
• обращать внимание на формулировку вопроса: иногда нужно найти не введённую переменную, а производную от неё величину (массу вещества, а не концентрацию, или общее время, а не скорость).

Регулярная практика с разбором ошибок и чётким алгоритмом «прочитал — определил тип — выбрал переменную — составил уравнение — решил — проверил» позволяет уверенно набирать полный балл за это задание.