Задание 2 ОГЭ по математике: маршруты, участки, тарифы, шины и печи

Что проверяет задание

Задание 2 ОГЭ проверяет умение применять школьную математику к обычным жизненным ситуациям: рассчитать время в пути, понять план квартиры или участка, разобраться в тарифе на связь, оценить расход топлива в печи или пробег шин. Экзаменатор смотрит, умеет ли ученик: 1) выделить из текста и рисунка нужные числа; 2) перевести их в единую систему единиц; 3) выбрать подходящую формулу (теорема Пифагора, площадь, пропорция, линейная зависимость); 4) довести вычисление до конкретного числа-ответа. Никакой «сложной» математики здесь нет — сложность в аккуратности и внимании к деталям условия.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание находится в первой части экзамена, относится к базовому уровню и оценивается в 1 балл. В условии обычно даётся текстовое описание ситуации плюс рисунок (план местности, план квартиры, схема участка) или таблица (тариф, характеристики шин, паспорт печи). Вопрос всегда конкретный: «сколько минут», «сколько километров», «сколько рублей», «сколько квадратных метров», «на сколько хватит». Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, вводится без единиц измерения, решение записывать не обязательно, но на черновике его лучше вести по шагам, чтобы не потерять промежуточные значения.

Что нужно знать

• Связь пути, скорости и времени: $S = v\cdot t$, отсюда $t=\dfrac{S}{v}$ и $v=\dfrac{S}{t}$.
• Перевод единиц: $1\text{ ч}=60\text{ мин}$; $1\text{ км}=1000\text{ м}$; при скорости в км/ч и расстоянии в км время в минутах считается как $t_{мин}=\dfrac{S}{v}\cdot 60$.
• Теорема Пифагора для диагональных участков на плане: $c=\sqrt{a^2+b^2}$, где $a,b$ — катеты (стороны, идущие по линиям сетки), $c$ — гипотенуза (диагональная дорога).
• Масштаб плана: если на плане отрезок соответствует реальной длине, то реальная длина $=$ (длина на плане в клетках) $\times$ (длина стороны клетки).
• Площадь прямоугольника: $S=a\cdot b$; площадь треугольника: $S=\dfrac12 a\cdot h$; площадь сложной фигуры — сумма или разность простых фигур.
• Единицы площади: $1\text{ сотка}=100\text{ м}^2$; $1\text{ га}=10\,000\text{ м}^2$.
• Периметр прямоугольника: $P=2(a+b)$.
• Линейный тариф связи: стоимость $C(t)=C_0+p\cdot t$, где $C_0$ — абонентская плата, $p$ — цена за минуту, сообщение или гигабайт сверх включённого пакета.
• Пропорция расхода (шины, топливо, дрова): если норма расхода задана на определённое расстояние или время, то расход на новое значение находится через пропорцию $\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$.
• Средняя скорость на смешанном маршруте считается не как среднее скоростей, а как $v_{ср}=\dfrac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Методы решения

1. Теорема Пифагора для маршрутов. Если дорога идёт по диагонали клетчатого плана, её длина находится как гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого — расстояния по линиям сетки. Мини-пример: катеты 3 и 4 клетки по 2 км — диагональ равна $\sqrt{3^2+4^2}\cdot 2=5\cdot2=10$ км.

2. Масштабирование плана квартиры или участка. Реальные размеры получаются умножением размеров на плане на масштаб. Мини-пример: сторона участка на плане 6 клеток, клетка соответствует 3 м — реальная сторона $6\cdot3=18$ м, площадь квадратного участка $18^2=324$ м².

3. Линейный тариф связи. Стоимость раскладывается на постоянную часть и переменную, зависящую от объёма услуг. Мини-пример: тариф 200 руб. в месяц плюс 3 руб. за каждую минуту сверх пакета; при 20 минутах сверх пакета стоимость $200+3\cdot20=260$ руб.

4. Пропорция для расхода и износа (шины, печи, топливо). Расход считается пропорционально пробегу, времени работы или объёму. Мини-пример: если печь расходует 4 кг дров за 2 часа работы, то за 5 часов расход равен $\dfrac{4}{2}\cdot5=10$ кг.

5. Сравнение нескольких вариантов. Когда есть несколько маршрутов, тарифов или способов, каждый вариант считается отдельно (расстояние или стоимость, затем время или итоговая сумма), а затем результаты сравниваются между собой, чтобы выбрать нужный (самый быстрый, самый дешёвый, самый длинный). Именно этот метод чаще всего используется в задачах про поездки с несколькими дорогами.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать вопрос дважды и чётко зафиксировать, что именно нужно найти и в каких единицах (минуты, километры, рубли, квадратные метры).
2. Выписать все данные из текста, рисунка и таблицы: скорости, масштаб клетки, тариф, нормы расхода.
3. Перевести все величины в единую систему измерения (часы или минуты, метры или километры).
4. Построить математическую модель: теорема Пифагора для диагоналей, произведение для площади, пропорция для расхода, линейная функция для тарифа.
5. Если в задаче несколько маршрутов или вариантов — посчитать каждый отдельно и только потом сравнить.
6. Довести вычисление до числа, которое просит вопрос, проверить единицы измерения и правдоподобность результата (не получилось ли отрицательное время или площадь больше плана целиком).

Разбор примеров

Пример 1. Гена и дедушка едут из Осинков в Кудрино. Сторона клетки на плане — 2 км, скорость по шоссе 60 км/ч, по грунтовой дороге 40 км/ч. Шоссе идёт прямо через Илькино до Кулаков (по плану это 7 и 9 клеток соответственно), затем поворачивает на 90° и идёт ещё 12 клеток до Кудрина.

Шаг 1 — переводим клетки в километры: участок Осинки–Илькино $7\cdot2=14$ км, Илькино–Кулаки $9\cdot2=18$ км, Кулаки–Кудрино $12\cdot2=24$ км.

Шаг 2 — считаем длину шоссе целиком: $14+18+24=56$ км. Время по шоссе при скорости 60 км/ч: $t=\dfrac{56}{60}\cdot60=56$ мин.

Шаг 3 — считаем прямую грунтовую дорогу Осинки–Кудрино как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $14+18=32$ км и $24$ км: $\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1600}=40$ км, время $\dfrac{40}{40}\cdot60=60$ мин.

Шаг 4 — считаем третий маршрут (шоссе до Илькина, потом грунтовая дорога мимо озера): грунтовая часть — гипотенуза с катетами 18 и 24 км, то есть $\sqrt{18^2+24^2}=30$ км, время $14$ мин по шоссе плюс $\dfrac{30}{40}\cdot60=45$ мин по грунтовке, итого $59$ мин.

Шаг 5 — сравниваем: $56<59<60$. Самый быстрый вариант — ехать всё время по шоссе, хотя он длиннее по расстоянию. Ответ: 56 минут.

Пример 2. Марина и дедушка едут из Ивановки в Гавриловку, клетка на плане — 1 км, скорость по шоссе 48 км/ч, по грунтовой дороге 25 км/ч. По той же схеме (участки шоссе 7, 9 и 12 клеток, поворот на 90° в Ольшанке) считаем аналогично: длина шоссе целиком $7+9+12=28$ км, время $\dfrac{28}{48}\cdot60=35$ мин. Прямая грунтовая дорога — гипотенуза с катетами $16$ и $12$ км: $\sqrt{16^2+12^2}=20$ км, время $\dfrac{20}{25}\cdot60=48$ мин. Смешанный маршрут: 7 км по шоссе ($8{,}75$ мин) плюс грунтовая дорога мимо пруда — гипотенуза с катетами $9$ и $12$ км, то есть $15$ км, время $36$ мин, итого $44{,}75$ мин. Сравнение $35<44{,}75<48$ показывает, что самый быстрый вариант снова — ехать по шоссе целиком. Ответ: 35 минут.

Пример 3. Полина и дедушка едут на велосипедах из Ясной в Майское, клетка — 2 км, скорость по шоссе 20 км/ч, по лесной дорожке и тропинке 15 км/ч. Участки шоссе: Ясная–Камышевка 11 клеток, Камышевка–Хомяково 5 клеток, Хомяково–Майское 12 клеток. Вопрос — сколько километров составляет путь по шоссе целиком. Переводим в километры: $22+10+24=56$ км. Ответ на вопрос о длине шоссе: 56 км.

Для полноты стоит посчитать и время: прямая лесная дорожка — гипотенуза с катетами $32$ и $24$ км, то есть $40$ км, время $\dfrac{40}{15}\cdot60=160$ мин; шоссе — $56$ км за $\dfrac{56}{20}\cdot60=168$ мин; смешанный маршрут — $22$ км по шоссе ($66$ мин) плюс тропинка $26$ км ($104$ мин), итого $170$ мин. Здесь, в отличие от первых двух примеров, быстрее всего ехать именно по прямой лесной дорожке — разница в скорости 20 и 15 км/ч слишком мала, чтобы компенсировать лишний километраж шоссе. Это показывает, что выбор быстрого варианта всегда нужно проверять расчётом, а не угадывать по интуиции.

Типичные ошибки и ловушки

• Забыть перевести часы в минуты (или наоборот) и получить ответ, который экзамен не примет.
• Складывать длины по клеткам «напрямую» вдоль диагонали, не применяя теорему Пифагора.
• Перепутать, какой отрезок — катет, а какой — гипотенуза, особенно после поворота дороги на 90°.
• Считать, что более длинный по расстоянию путь обязательно дольше по времени — это неверно, если скорость на нём выше.
• Перепутать масштаб плана: умножить, где нужно делить, или взять сторону клетки не в тех единицах.
• В задачах на тариф забыть про абонентскую плату или посчитать оплату всех минут по повышенному тарифу, включая те, что входят в пакет.
• В задачах на шины и печи путать пропорцию: делить не на то основание (например, взять расход на 1 час вместо расхода на 1 км).
• Округлять промежуточные результаты слишком рано, из-за чего итоговый ответ «уходит» на единицу.

Как готовиться

Составьте короткую шпаргалку с формулами из раздела «Что нужно знать» и держите её перед глазами, пока решаете тренировочные задачи. Разбирайте задачи по каждой подтеме отдельно: сначала все на маршруты и теорему Пифагора, затем все на планы участков и масштаб, затем на тарифы, шины и печи — так проще увидеть повторяющуюся структуру условий. После разбора нескольких задач одной подтемы решайте их на время, без подглядывания в формулы, чтобы проверить, что алгоритм закрепился. Обязательно проверяйте единицы измерения в ответе перед тем, как его записать, и делайте прикидку «на глаз»: если получилось, что дорога в 5 км проехали за 3 часа на велосипеде, это повод пересчитать. Регулярно возвращайтесь к задачам с несколькими маршрутами или вариантами — именно там чаще всего теряются баллы из-за поспешного вывода «длиннее значит дольше».