Задание 1 ОГЭ по математике: путешествия, участки, тарифы связи

Что проверяет задание

Задание 1 из части «Реальная математика» ОГЭ проверяет умение применять школьную математику к бытовым ситуациям: читать план местности и находить расстояния по клеткам, использовать теорему Пифагора и формулу пути, считать площади квартир и участков, разбираться в тарифах на связь и мобильный интернет. Проверяется не столько знание сложной теории, сколько аккуратность вычислений, умение переводить единицы измерения и правильно выбирать нужную величину из текста.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание сопровождается рисунком (план местности, схема квартиры или участка) или таблицей с тарифами связи. В тексте даны исходные данные: скорости, расстояния, размеры клетки на плане, цены за минуту или гигабайт. Вопрос обычно один: найти время, расстояние, площадь или стоимость. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, записывается без единиц измерения (они указаны в самом вопросе). За задание даётся 1 балл, ход решения не проверяется — важен только числовой ответ.

Что нужно знать

• Теорема Пифагора: $c^2=a^2+b^2$, где $c$ — гипотенуза, $a,b$ — катеты прямоугольного треугольника.
• Связь пути, скорости и времени: $s=vt$, откуда $t=\dfrac{s}{v}$ и $v=\dfrac{s}{t}$.
• Перевод часов в минуты и секунды: $t_{мин}=t_{ч}\cdot 60$, $t_{с}=t_{мин}\cdot 60$.
• Перевод километров в метры: $1\text{ км}=1000\text{ м}$.
• Масштаб плана: реальное расстояние = число клеток $\times$ длина одной клетки.
• Площадь прямоугольника: $S=a\cdot b$; площадь составной фигуры находится сложением или вычитанием простых фигур.
• Площадь прямоугольного треугольника через катеты: $S=\dfrac12 ab$.
• Линейная модель стоимости связи: $C=a+b\cdot n$, где $a$ — абонентская плата, $b$ — цена единицы (минуты, Мб), $n$ — число использованных единиц.
• Если единицы тарифа целые (минуты, Мб не дробятся), нужное количество единиц округляется вверх, даже при небольшом превышении.

Методы решения

1. Чтение плана и вычисление длин по клеткам (путешествия). Расстояние по прямой между двумя точками, не лежащими на одной линии, находится как гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого считаются по клеткам вдоль горизонтали и вертикали. Пример: катеты 6 и 8 клеток, сторона клетки 1 км — расстояние $=\sqrt{6^2+8^2}=10$ км.

2. Сравнение маршрутов по времени (путешествия). Каждый маршрут делится на участки с разными скоростями, для каждого считается время $t=s/v$, время суммируется, маршруты сравниваются. Пример: 12 км при 60 км/ч дают $t=12/60=0,2$ ч $=12$ мин.

3. Площадь участка или комнаты (квартиры и сады). Прямоугольная фигура — произведение сторон; составная (Г-образная, с вырезом) — разбивается на прямоугольники, площади складываются или вычитаются. Пример: участок 10×15 м с вырезом 3×4 м имеет площадь $10\cdot15-3\cdot4=138$ м².

4. Расчёт стоимости по тарифу (связь). Из текста выписывается формула $C=a+bn$, подставляется нужное количество минут или Мб, неполные единицы округляются вверх. Пример: тариф 300 руб. + 2 руб./минута сверх пакета, перерасход 45 минут: $C=300+2\cdot45=390$ руб.

5. Комбинированные маршруты «шоссе + грунтовая/лесная дорога» (путешествия). На плане несколько прямоугольных треугольников с общей вершиной-поворотом на 90°. Сначала находят катеты по данным задачи, затем гипотенузы (прямые дороги) через теорему Пифагора, затем сравнивают время по каждому варианту.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать условие и вопрос, выписать данные (скорости, расстояния, цену клетки, тарифы) и что нужно найти, в каких единицах.
2. Если есть рисунок — определить масштаб и найти нужные прямоугольные треугольники, обозначить катеты.
3. Недостающие длины (прямые дороги, диагонали участка) найти по теореме Пифагора.
4. Применить нужную формулу: время — $t=s/v$, площадь — произведение сторон или сумма/разность фигур, стоимость — линейная формула тарифа.
5. Перевести результат в единицы из вопроса (часы → минуты/секунды, км → м).
6. При необходимости округлить по правилам задания (для тарифов — всегда вверх до целой единицы).
7. Проверить ответ на правдоподобность: время, скорость и расстояние должны согласовываться, площадь — быть разумной для комнаты или участка.

Разбор примеров

Пример 1. Полина и дедушка едут на велосипедах: по шоссе — 20 км/ч, по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч, клетка плана равна 2 км. Горизонтальный участок шоссе (Ясная — Хомяково через Камышевку) занимает 22 клетки, то есть $22\cdot2=44$ км, участок Хомяково — Майское — 15 клеток, то есть $15\cdot2=30$ км. Лесная дорожка идёт напрямую, значит это гипотенуза: $$ЯМ=\sqrt{44^2+30^2}=\sqrt{1936+900}=\sqrt{2836}\approx53,25\text{ км}.$$ Время по лесной дорожке: $t=\dfrac{53,25}{15}\cdot60\approx213$ мин. Сравнив это время с маршрутами через Хомяково и через тропинку у пруда, получаем итоговое время — 213 минут.

Пример 2. Володя и дедушка едут на машине: по шоссе — 80 км/ч, по грунтовой дороге — 40 км/ч, клетка плана равна 4 км. Горизонтальный участок шоссе (Ёлочки — Жуки) занимает 26 клеток — $26\cdot4=104$ км, вертикальный участок (Жуки — Кленовое) — 31 клетку — $31\cdot4=124$ км. Грунтовая дорога идёт напрямую, значит это гипотенуза: $$ЕК=\sqrt{104^2+124^2}=\sqrt{10816+15376}=\sqrt{26192}\approx161,84\text{ км}.$$ Время по грунтовой дороге: $t=\dfrac{161,84}{40}\cdot60\approx242,76\approx243$ мин. После сравнения с маршрутом через Жуки получаем ответ — 243 минуты.

Пример 3. Таня едет от Антоновки до Богданово, есть пять маршрутов, скорость по шоссе — 50 км/ч, по проселочным дорогам — 30 км/ч. Главное шоссе идёт от Антоновки через Доломино (12 км) и Егорку (4 км) до Ванютино: $12+4+12=28$ км. В Ванютино — поворот на 90° на второе шоссе, которое через Жилино (9 км) идёт до Богданово (ещё 12 км): $9+12=21$ км. Прямая проселочная дорога мимо реки (первый маршрут) — гипотенуза большого треугольника с катетами 28 и 21 км: $$АБ=\sqrt{28^2+21^2}=\sqrt{784+441}=\sqrt{1225}=35\text{ км}.$$ Время по ней: $t=\dfrac{35}{30}\cdot60=70$ мин $=4200$ с. Маршрут целиком по шоссе через Ванютино: $28+21=49$ км, $t=\dfrac{49}{50}\cdot60=58,8$ мин $=3528$ с. Проселочная дорога Егорка — Жилино (нужна для одного из маршрутов) — гипотенуза треугольника с катетами Егорка–Ванютино (12 км) и Ванютино–Жилино (9 км): $$ЕЖ=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\text{ км}.$$ Аналогично через теорему Пифагора находятся длины двух оставшихся проселочных дорог (Антоновка–Горюново и Доломино–Горюново). Переводя длину каждого участка в время по формуле $t=s/v$, суммируя участки внутри каждого маршрута и сравнивая пять значений, получаем итоговый ответ — 4625 секунд.

Типичные ошибки и ловушки

• Забыть перевести часы в минуты или минуты в секунды, если вопрос требует именно этих единиц.
• Спутать катет с гипотенузой: посчитать прямую дорогу как сумму двух катетов вместо теоремы Пифагора.
• Взять для участка неверную скорость — легко перепутать шоссе и грунтовую или лесную дорогу.
• Ошибиться при подсчёте клеток на плане — не учесть масштаб или посчитать клетки только по одной стороне фигуры.
• Считать самым быстрым маршрут с наименьшим расстоянием, забывая, что скорости на участках разные — короче не всегда быстрее.
• При расчёте стоимости связи забыть абонентскую плату или округлить неполную минуту/гигабайт вниз вместо положенного округления вверх.
• Неверно разбить составную фигуру участка или квартиры на прямоугольники — потерять или задвоить часть площади.
• Указать в ответе единицы измерения или лишние знаки после запятой, если требуется только число.

Как готовиться

Регулярно решать задания этого типа по всем трём подтемам — путешествия, площади участков и квартир, тарифы связи, — чтобы автоматизировать разбор рисунка и выбор формулы. Полезно держать под рукой короткую шпаргалку с теоремой Пифагора, формулой пути и формулой тарифа, чтобы не тратить время на вспоминание. При тренировке на планах местности стоит специально считать клетки вслух и сразу умножать на масштаб — это самое частое место ошибки. Хорошо помогает решение вперемешку: сначала задачи на скорость и время, потом на площадь, потом на тарифы — чтобы не терять внимательность при переключении между типами. Каждую решённую задачу стоит проверять «на глаз»: похоже ли получившееся время на реальную поездку, а площадь — на размеры настоящей квартиры или участка.