Задание 3 ОГЭ по информатике: значение логического выражения

Что проверяет задание

Задание 3 проверяет умение работать с логическими операциями НЕ, И, ИЛИ применительно к неравенствам и условиям на переменную X. По сути, экзаменатор даёт составное логическое высказывание, зависящее от X, и просит найти конкретное целое число: наибольшее, наименьшее или единственное, при котором это высказывание истинно.

Здесь проверяются три навыка одновременно:

• умение раскрывать отрицание неравенства (НЕ применительно к $\leq$, $\geq$, $<$, $>$);
• умение находить пересечение или объединение числовых промежутков;
• умение переводить логическое выражение в область допустимых значений X и выбирать нужную границу.

Задание базового уровня, но ошибки в нём чаще всего связаны не с логикой, а с невнимательностью при раскрытии отрицания и определении границ (включать или не включать крайнее число).

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типовая формулировка звучит так: «Напишите наибольшее (или наименьшее) целое число X, для которого истинно высказывание...», далее идёт логическое выражение с операциями НЕ, И, ИЛИ и неравенствами относительно X. Иногда вместо неравенства встречается условие на чётность или нечётность числа.

Задание оценивается в 1 первичный балл. Ответ — целое число, которое нужно вписать без дополнительных пояснений. Развёрнутое решение не требуется, но черновик с промежуточными выкладками сильно помогает избежать арифметической ошибки.

Важная особенность: несмотря на кажущуюся простоту, задание входит в число тех, где школьники чаще всего теряют балл именно из-за невнимательности к знаку неравенства (строгое или нестрогое) и к правилу отрицания.

Что нужно знать

Для уверенного решения нужно держать в голове несколько базовых фактов.

• Отрицание неравенства меняет его на противоположное строгое: $\text{НЕ}(X \leq a)$ равносильно $X > a$.
• Отрицание неравенства: $\text{НЕ}(X \geq a)$ равносильно $X < a$.
• Отрицание строгого неравенства: $\text{НЕ}(X < a)$ равносильно $X \geq a$.
• Отрицание строгого неравенства: $\text{НЕ}(X > a)$ равносильно $X \leq a$.
• Логическое И (конъюнкция) истинно только тогда, когда истинны оба условия одновременно — это пересечение промежутков.
• Логическое ИЛИ (дизъюнкция) истинно, если истинно хотя бы одно условие, — это объединение промежутков.
• Если условие говорит о чётности числа: X чётное означает, что X делится на 2 без остатка; НЕ(X чётное) равносильно тому, что X нечётное.
• При работе с целыми числами важно чётко различать строгие ($<$, $>$) и нестрогие ($\leq$, $\geq$) неравенства: от этого зависит, включается ли граничное число в ответ.
• Пересечение двух промежутков $a < X < b$ и $c < X < d$ даёт более узкий промежуток, ограниченный большим из левых концов и меньшим из правых концов.

Знание этих правил превращает задание в чисто механическую процедуру: сначала убрать все отрицания, затем найти общий диапазон X, затем выбрать нужное число на границе.

Методы решения

Метод 1. Раскрытие отрицания и упрощение выражения. Первый шаг всегда один — избавиться от НЕ, применив правило смены знака неравенства. Например, выражение $\text{НЕ}(X \leq 15)$ превращается в $X > 15$. Это упрощение убирает лишний уровень логики и оставляет только чистые неравенства, с которыми легко работать дальше.

Метод 2. Построение числового промежутка через пересечение (операция И). Если в выражении стоит И, значит оба условия должны выполняться одновременно, то есть нужно найти пересечение двух промежутков. Например, если после раскрытия отрицаний получилось $X > 15$ И $X < 20$, то допустимые значения — это промежуток $15 < X < 20$, то есть целые числа 16, 17, 18, 19.

Метод 3. Построение объединения промежутков (операция ИЛИ). Если условия соединены через ИЛИ, подходит любое X, удовлетворяющее хотя бы одному из них. Например, $X < 5$ ИЛИ $X > 10$ даёт две отдельные области: все числа меньше 5 и все числа больше 10. В таких заданиях наибольшего или наименьшего значения может не быть, если один из промежутков уходит в бесконечность, поэтому такие формулировки обычно подкреплены дополнительным ограничением диапазона.

Метод 4. Работа с условием чётности или нечётности. Когда в выражении встречается условие «X чётное» или его отрицание, полезно перечислить конкретные числа из найденного диапазона и отобрать среди них подходящие по чётности. Например, если диапазон — это $X < 7$ и одновременно X должно быть нечётным, стоит перечислить числа 6, 5, 4, 3... и выбрать первое нечётное — это будет 5.

Метод 5. Проверка подстановкой. После того как найден кандидат на ответ, полезно подставить его в исходное (неупрощённое) выражение и проверить, что оно действительно истинно, а также проверить соседнее число (на единицу больше или меньше в зависимости от того, ищете вы максимум или минимум), чтобы убедиться, что оно уже даёт ложь. Это отличная защита от ошибки со строгим и нестрогим неравенством.

Алгоритм решения по шагам

1. Выпишите исходное логическое выражение и определите, какие операции в нём есть: НЕ, И, ИЛИ.
2. Раскройте все отрицания, применяя правило смены знака неравенства (или смены чётности на нечётность и наоборот).
3. Перепишите выражение в виде набора простых неравенств без отрицаний.
4. Если операция И — найдите пересечение промежутков; если ИЛИ — найдите объединение.
5. Определите итоговый диапазон допустимых целых чисел X с учётом строгости неравенств (включаются ли границы).
6. Если требуется учесть дополнительное условие (чётность/нечётность), отфильтруйте найденные числа по этому признаку.
7. Выберите нужное число: наибольшее, наименьшее или единственное значение, удовлетворяющее всем условиям.
8. Подставьте найденное число в исходное выражение и убедитесь, что оно даёт истину, а соседнее (за границей) — ложь.

Разбор примеров

Пример 1. Найти наибольшее целое X, для которого истинно высказывание $\text{НЕ}(X \leq 15) \text{ И } (X < 20)$.

Шаг 1. В выражении есть отрицание перед первым неравенством и операция И между двумя условиями.

Шаг 2. Раскрываем отрицание: $\text{НЕ}(X \leq 15)$ равносильно $X > 15$.

Шаг 3. Теперь выражение имеет вид: $(X > 15) \text{ И } (X < 20)$.

Шаг 4. Операция И — ищем пересечение промежутков. Получаем $15 < X < 20$.

Шаг 5. Целые числа в этом промежутке: 16, 17, 18, 19. Обе границы строгие, поэтому 15 и 20 не включаются.

Шаг 6. Наибольшее число из этого списка — 19.

Шаг 7. Проверка: при X = 19 выражение $19 > 15$ истинно, $19 < 20$ истинно, значит И истинно. При X = 20: $20 < 20$ ложно, значит всё выражение ложно. Значит 19 — верный ответ.

Пример 2. Найти наибольшее целое X, для которого истинно высказывание $\text{НЕ}(X \leq 10) \text{ И } \text{НЕ}(X > 16)$.

Шаг 1. Здесь два отрицания, соединённых операцией И.

Шаг 2. Раскрываем первое отрицание: $\text{НЕ}(X \leq 10)$ равносильно $X > 10$. Раскрываем второе: $\text{НЕ}(X > 16)$ равносильно $X \leq 16$.

Шаг 3. Выражение принимает вид: $(X > 10) \text{ И } (X \leq 16)$.

Шаг 4. Пересечение промежутков даёт $10 < X \leq 16$.

Шаг 5. Целые числа: 11, 12, 13, 14, 15, 16. Обратите внимание: левая граница строгая (10 не входит), правая — нестрогая (16 входит).

Шаг 6. Наибольшее значение из списка — 16.

Шаг 7. Проверка: при X = 16 выражение $16 > 10$ истинно, $16 \leq 16$ истинно (нестрогое неравенство допускает равенство), значит И истинно. При X = 17: $17 \leq 16$ ложно, значит всё выражение ложно. Ответ 16 подтверждён.

Этот пример показывает главную ловушку задания — важно не перепутать строгое и нестрогое неравенство при раскрытии отрицания: НЕ от нестрогого даёт строгое, и наоборот.

Пример 3. Найти наибольшее целое X, для которого истинно высказывание $\text{НЕ}(X \text{ чётное}) \text{ И } \text{НЕ}(X \geq 7)$.

Шаг 1. Первое условие связано с чётностью, второе — обычное неравенство, оба под отрицанием, соединены операцией И.

Шаг 2. Раскрываем первое отрицание: $\text{НЕ}(X \text{ чётное})$ означает, что X нечётное. Раскрываем второе: $\text{НЕ}(X \geq 7)$ равносильно $X < 7$.

Шаг 3. Выражение принимает вид: X нечётное И $X < 7$.

Шаг 4. Здесь нет классического пересечения двух неравенств, а есть неравенство плюс дополнительное условие на чётность, поэтому действуем через перечисление.

Шаг 5. Перечисляем целые числа меньше 7, начиная с наибольших: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1 и так далее.

Шаг 6. Отбираем нечётные: 5, 3, 1, -1... Наибольшее среди них — 5, поскольку 6 чётное и не подходит, а 5 уже нечётное и удовлетворяет условию $X < 7$.

Шаг 7. Проверка: при X = 5 число нечётное — верно, $5 < 7$ — верно, значит И истинно. При X = 6: число чётное, условие «X нечётное» ложно, значит всё выражение ложно. Ответ 5 подтверждён.

Этот пример иллюстрирует метод работы с условием чётности: сначала находим числовой диапазон по неравенству, а затем внутри него ищем число нужной чётности, начиная с ближайшего к границе.

Типичные ошибки и ловушки

• Неправильное раскрытие отрицания: часто путают, что НЕ от нестрогого неравенства даёт строгое противоположное, и наоборот. Например, ошибочно считают, что $\text{НЕ}(X \leq 15)$ равносильно $X \geq 15$, хотя правильно $X > 15$.
• Путаница между операциями И и ИЛИ: забывают, что И требует пересечения (более узкий диапазон), а ИЛИ — объединения (более широкий или разрозненный диапазон).
• Ошибка на границе диапазона: включают или, наоборот, не включают крайнее число, не обращая внимания на строгость неравенства.
• Пропуск проверки подстановкой: не глядя проверяют соседнее число, поэтому не замечают, что оно тоже подходит (или, наоборот, что выбранное число не подходит).
• Путаница при работе с чётностью: забывают, что отрицание чётности — это нечётность, а не «отрицательное число» или что-то иное.
• Невнимательное чтение вопроса: задание может просить наименьшее число вместо наибольшего, и после верного построения диапазона выбирают не ту границу.
• Ошибки при работе с отрицательными числами и нулём: забывают, что 0 — чётное число, а отрицательные числа тоже входят в область допустимых значений, если диапазон это позволяет.

Как готовиться

Лучший способ закрепить это задание — довести раскрытие отрицаний до автоматизма. Составьте для себя короткую таблицу соответствий: НЕ($\leq$) даёт $>$, НЕ($\geq$) даёт $<$, НЕ($<$) даёт $\geq$, НЕ($>$) даёт $\leq$, а также НЕ(чётное) даёт нечётное. Проговаривайте эти правила вслух, пока они не станут рефлексом.

Далее тренируйтесь решать задания с разным сочетанием операций: сначала простые с одним НЕ и одной операцией И, затем более сложные — с двумя отрицаниями, с ИЛИ, с условием на чётность. Обязательно решайте примеры на бумаге, рисуя числовую прямую с отмеченными границами и штриховкой нужной области — это визуально помогает не путать пересечение и объединение.

После нахождения ответа всегда выполняйте проверку подстановкой: берите найденное число и число на единицу дальше в сторону, противоположную границе. Если оба раза результат совпадает с ожиданием (искомое число даёт истину, соседнее — ложь), можно быть уверенным в ответе.

Полезно также решать вариативные задания, где вместо чисел встречаются буквенные переменные или где условие на чётность заменено на условие делимости, например, на 3 или на 5 — логика решения останется той же, просто нужно будет проверять другой признак делимости. Регулярная практика на 10–15 подобных заданиях за одну тренировку полностью снимает риск ошибки на экзамене.