Номер 4.323 — ГДЗ математика 6 класс Виленкин
№ 4.323.
Проверьте справедливость равенства |аb| = |а| · |b| при а = 0,1 ; b = –2 и при а = –1/2; b = 3. Докажите, что равенство |аb| = |а| · |b| верно при любых значениях а и b.
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала вычислите произведение ab и найдите его модуль (левая часть). Затем найдите модули a и b отдельно и умножьте их (правая часть). Сравните результаты. Для доказательства рассмотрите, какие знаки могут быть у чисел a и b, и проверьте каждый случай отдельно.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Проверка справедливости равенства |ab| = |a| · |b|
Шаг 1. Проверка при a = 0,1 и b = –2
Левая часть: |ab|
- ab = 0,1 · (–2) = –0,2
- |ab| = |–0,2| = 0,2
Правая часть: |a| · |b|
- |a| = |0,1| = 0,1
- |b| = |–2| = 2
- |a| · |b| = 0,1 · 2 = 0,2
Результат: 0,2 = 0,2 ✓ Равенство верно
Шаг 2. Проверка при a = –1/2 и b = 3
Левая часть: |ab|
- ab = (–1/2) · 3 = –3/2 = –1,5
- |ab| = |–1,5| = 1,5
Правая часть: |a| · |b|
- |a| = |–1/2| = 1/2 = 0,5
- |b| = |3| = 3
- |a| · |b| = 0,5 · 3 = 1,5
Результат: 1,5 = 1,5 ✓ Равенство верно
Шаг 3. Доказательство для любых значений a и b
Рассмотрим все возможные случаи:
Случай 1: a ≥ 0 и b ≥ 0
- |a| = a, |b| = b
- ab ≥ 0, поэтому |ab| = ab
- |a| · |b| = a · b = ab
- Равенство верно: ab = ab ✓
Случай 2: a ≥ 0 и b < 0
- |a| = a, |b| = –b
- ab < 0, поэтому |ab| = –ab
- |a| · |b| = a · (–b) = –ab
- Равенство верно: –ab = –ab ✓
Случай 3: a < 0 и b ≥ 0
- |a| = –a, |b| = b
- ab ≤ 0, поэтому |ab| = –ab
- |a| · |b| = (–a) · b = –ab
- Равенство верно: –ab = –ab ✓
Случай 4: a < 0 и b < 0
- |a| = –a, |b| = –b
- ab > 0, поэтому |ab| = ab
- |a| · |b| = (–a) · (–b) = ab
- Равенство верно: ab = ab ✓
Вывод: Равенство |ab| = |a| · |b| справедливо при любых значениях a и b.