Номер 635 — ГДЗ математика 6 класс Мерзляк
№ 635.
В 6 классе диктант по русскому языку писали 30 учеников. Вася Ленивцев сделал больше всех ошибок – 14. Покажите, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок (в этом классе могли быть усеники, которые не сделали ни одной ошибки).
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай, сколько разных вариантов количества ошибок может быть (от 0 до максимума). Затем раздели количество учеников на количество вариантов и применишь принцип Дирихле — если предметов больше, чем мест, то в какое-то место попадёт больше одного предмета.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что какое-то количество ошибок допустило минимум трёх учеников.
Подсчитаем, сколько разных вариантов количества ошибок возможно. Ошибок может быть: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 или 14 (так как максимум 14 ошибок — это сделал Вася). Всего получается 15 разных вариантов.
Всего учеников в классе: 30 человек.
Применим принцип Дирихле. Если бы каждый вариант (количество ошибок) встречался не более чем 2 раза, то максимум учеников было бы: 15 × 2 = 30 человек.
Но у нас ровно 30 учеников! Это значит, что либо каждое количество ошибок встречается ровно 2 раза, либо какое-то количество встречается 3 раза и более.
Однако мы знаем, что количество ошибок, равное 14, встречается ровно 1 раз (это сделал только Вася).
Тогда для остальных 14 вариантов (от 0 до 13 ошибок) приходится 29 учеников. Если бы каждый вариант встречался не более 2 раз, было бы максимум 14 × 2 = 28 учеников. А у нас 29!
Значит, обязательно найдётся хотя бы одно количество ошибок (от 0 до 13), которое встречается 3 или более раз.
Вывод: по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок. ✓