Номер 578 — ГДЗ математика 6 класс Мерзляк
№ 578.
Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому росту двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте росты гномов и составьте уравнения на основе условия про среднее арифметическое. Подумайте, что происходит с гномом максимального роста — его соседи должны быть не ниже него, но их среднее равно его росту. Что это значит для его соседей?
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим семь гномов по кругу и их росты как h1, h2, h3, h4, h5, h6, h7.
По условию, каждый гном имеет рост, равный среднему арифметическому ростов своих двух соседей:
Для гнома 1: h1 = (h7 + h2) / 2, откуда 2h1 = h7 + h2
Для гнома 2: h2 = (h1 + h3) / 2, откуда 2h2 = h1 + h3
Для гнома 3: h3 = (h2 + h4) / 2, откуда 2h3 = h2 + h4
И так далее по кругу...
Сложим все семь уравнений: 2h1 + 2h2 + 2h3 + 2h4 + 2h5 + 2h6 + 2h7 = (h7 + h2) + (h1 + h3) + (h2 + h4) + (h3 + h5) + (h4 + h6) + (h5 + h7) + (h6 + h1)
Справа каждый рост встречается ровно два раза (каждый гном — правый сосед для одного соседа и левый сосед для другого): 2(h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7) = 2(h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7)
Уравнение верно. Теперь предположим, что гномы разного роста. Пусть hmax — самый высокий, hmin — самый низкий гном. Тогда hmax > hmin.
Для гнома с максимальным ростом: hmax = (hсосед1 + hсосед2) / 2. Оба соседа не выше hmax, и их среднее равно hmax. Это возможно только если оба соседа также имеют рост hmax.
Применяя это рассуждение к этим соседям, получаем, что их соседи тоже имеют рост hmax.
Продолжая логическую цепь по кругу, получаем, что все гномы имеют рост hmax.
Следовательно, все гномы одного роста.