Номер 697 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян
№ 697.
💡 Подсказка (без ответа)
Соедини центр окружности O со всеми вершинами четырёхугольника. Получишь четыре треугольника. Высота каждого треугольника (проведённая из O к стороне четырёхугольника) равна радиусу R. Найди сумму площадей всех четырёх треугольников.
Решение по шагам
Разберем задачу по шагам.
Дано: ABCD — четырёхугольник; Окр(O; R) — окружность, вписанная в четырёхугольник (т. е. касается всех четырёх сторон); Р_ABCD — периметр.
Найти: S_ABCD (площадь четырёхугольника).
Решение:
Шаг 1. Вспомним свойство касательных. Если в четырёхугольник вписана окружность, то каждая сторона — касательная к этой окружности.
Шаг 2. Соединим центр O с каждой вершиной четырёхугольника. Получаем четыре треугольника: △OAB, △OBC, △OCD, △ODA.
Шаг 3. В каждом треугольнике расстояние от O до стороны (сторона четырёхугольника) равно R (радиус окружности), так как окружность касается каждой стороны.
Шаг 4. Найдём площадь каждого треугольника:
- S_OAB = (1/2) · AB · R
- S_OBC = (1/2) · BC · R
- S_OCD = (1/2) · CD · R
- S_ODA = (1/2) · DA · R
Шаг 5. Площадь всего четырёхугольника: S_ABCD = S_OAB + S_OBC + S_OCD + S_ODA = = (1/2) · AB · R + (1/2) · BC · R + (1/2) · CD · R + (1/2) · DA · R = = (1/2) · R · (AB + BC + CD + DA) = = (1/2) · R · P_ABCD
Вывод: Площадь четырёхугольника, в который вписана окружность, равна половине произведения радиуса окружности на периметр четырёхугольника.