Номер 532 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян
№ 532.
💡 Подсказка (без ответа)
Начните с применения теоремы Пифагора к прямоугольному треугольнику ABH для выражения BH². Затем применимте теорему Пифагора к треугольнику BHC и выразите HC через AC и AH.
Решение по шагам
Это задача на применение теоремы о медиане в прямоугольном треугольнике. Разберёмся пошагово.
Дано:
- Треугольник ABC
- BH — высота (перпендикулярна AC)
- Угол C < 90°
- Нужно доказать: BC² = AB² + AC² - 2·AC·AH
Решение:
Шаг 1. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABH (с прямым углом H): AB² = AH² + BH²
Отсюда: BH² = AB² - AH²
Шаг 2. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BHC (с прямым углом H): BC² = BH² + HC²
Шаг 3. Заметим, что HC = AC - AH (так как H лежит на AC, и угол C острый).
Подставим в формулу из шага 2: BC² = BH² + (AC - AH)²
Шаг 4. Раскроем скобки: BC² = BH² + AC² - 2·AC·AH + AH²
Шаг 5. Подставим BH² = AB² - AH² из шага 1: BC² = (AB² - AH²) + AC² - 2·AC·AH + AH²
Шаг 6. Упростим (AH² и -AH² сокращаются): BC² = AB² + AC² - 2·AC·AH
Что и требовалось доказать!