Номер 888 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 888.
Докажите, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конце числа увеличилось бы в 5 раз.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь исходное число как a·10^n + b (где a — первая цифра, b — остальное число). После перестановки получится b·10 + a. Составь уравнение, выражающее условие увеличения в 5 раз, и проверь делимость на 5.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Предположим, что такое натуральное число существует. Обозначим его через исходное число.
Пусть натуральное число имеет вид: a·10^n + b, где:
- a — первая цифра числа (от 1 до 9)
- b — число, образованное остальными цифрами (от 0 до 10^n − 1)
- n — количество остальных цифр (n ≥ 1)
После перестановки первой цифры в конец получаем число: b·10 + a
По условию задачи должно выполняться: b·10 + a = 5·(a·10^n + b)
Раскроем скобки: 10b + a = 5a·10^n + 5b
Перенесём в одну сторону: 10b − 5b + a − 5a·10^n = 0 5b + a − 5a·10^n = 0 5b + a = 5a·10^n
Выразим b: 5b = 5a·10^n − a 5b = a(5·10^n − 1) b = a(5·10^n − 1)/5
Для того чтобы b было целым числом, (5·10^n − 1) должно делиться на 5.
Проверим: 5·10^n − 1 = 5·10^n − 1 Остаток при делении на 5: (5·10^n − 1) ≡ (0 − 1) ≡ −1 ≡ 4 (mod 5)
Значит, 5·10^n − 1 дает остаток 4 при делении на 5, то есть не делится на 5 нацело.
Поэтому при любом натуральном n и любой цифре a (от 1 до 9) число b = a(5·10^n − 1)/5 не будет целым.
Таким образом, не существует натурального числа с требуемым свойством.