Номер 884 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 884.
Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай, какой вид должно иметь число n, чтобы 21n стало полным квадратом. Разложи 21 на множители и вспомни свойство степеней. Затем найди наименьшее натуральное число k, при котором n = 21k² будет четырёхзначным.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим искомое четырёхзначное число как n. По условию 21n должно быть полным квадратом.
Шаг 1. Разложим 21 на простые множители: 21 = 3 · 7
Шаг 2. Для того чтобы 21n было полным квадратом, число n должно иметь вид: n = 21k² = 3 · 7 · k²
Тогда 21n = 21 · 21k² = (21k)² — это полный квадрат.
Шаг 3. Найдём наименьшее k, при котором n будет четырёхзначным числом: 1000 ≤ 21k² < 10000
Делим на 21: 1000/21 ≤ k² < 10000/21 47,62... ≤ k² < 476,19...
Шаг 4. Берём корень квадратный: k ≥ √47,62 ≈ 6,9 k < √476,19 ≈ 21,8
Наименьшее целое k, удовлетворяющее условию: k = 7
Шаг 5. Вычислим n: n = 21 · 7² = 21 · 49 = 1029
Шаг 6. Проверка: 21 · 1029 = 21609 = 147² √21609 = 147 ✓
1029 — четырёхзначное число ✓