Номер 862 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 862.
Докажите, что при любом а выполняется неравенство 1/3 ≤ $$\frac{а^2 - a + 1}{a^2 + a + 1}$$ ≤ 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Докажи два неравенства отдельно. Для каждого перенеси дробь в левую часть и приведи к общему знаменателю. Разложи числитель на множители (должны получиться полные квадраты типа (a - 1)² или (a + 1)²) и проверь их знаки.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим дробь как f(a) = (a² - a + 1)/(a² + a + 1). Нужно доказать двойное неравенство: 1/3 ≤ f(a) ≤ 3.
Доказываем левую часть: 1/3 ≤ (a² - a + 1)/(a² + a + 1)
Перенесём всё в одну сторону: (a² - a + 1)/(a² + a + 1) - 1/3 ≥ 0
Приведём к общему знаменателю: [3(a² - a + 1) - (a² + a + 1)] / [3(a² + a + 1)] ≥ 0
Вычислим числитель: 3a² - 3a + 3 - a² - a - 1 = 2a² - 4a + 2 = 2(a² - 2a + 1) = 2(a - 1)²
Получили: 2(a - 1)² / [3(a² + a + 1)] ≥ 0
Числитель 2(a - 1)² ≥ 0 при любом a (квадрат). Знаменатель: a² + a + 1 = (a + 1/2)² + 3/4 > 0 при любом a (дискриминант отрицательный). Поэтому дробь ≥ 0 при всех a. Левое неравенство доказано.
Доказываем правую часть: (a² - a + 1)/(a² + a + 1) ≤ 3
Перенесём: (a² - a + 1)/(a² + a + 1) - 3 ≤ 0
Приведём к общему знаменателю: [a² - a + 1 - 3(a² + a + 1)] / [a² + a + 1] ≤ 0
Вычислим числитель: a² - a + 1 - 3a² - 3a - 3 = -2a² - 4a - 2 = -2(a² + 2a + 1) = -2(a + 1)²
Получили: -2(a + 1)² / [a² + a + 1] ≤ 0
Числитель -2(a + 1)² ≤ 0 при любом a (это неположительное число). Знаменатель a² + a + 1 > 0 при любом a. Поэтому дробь ≤ 0 при всех a. Правое неравенство доказано.
Оба неравенства верны при всех значениях a, следовательно, 1/3 ≤ (a² - a + 1)/(a² + a + 1) ≤ 3.