Номер 861 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 861.
Найдите значение m, при котором корни уравнения х3 – 9х2 + mx – 15 = 0 образуют арифметическую прогрессию.
💡 Подсказка (без ответа)
Если корни образуют арифметическую прогрессию, обозначь их как a - d, a, a + d. Используй теорему Виета для суммы корней, чтобы найти a. Затем подставь найденный корень в исходное уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим корни уравнения через a - d, a, a + d, где они образуют арифметическую прогрессию с разностью d.
Шаг 1. Применим теорему Виета для суммы корней. Сумма всех корней кубического уравнения равна коэффициенту при x² со знаком минус: (a - d) + a + (a + d) = 9 3a = 9 a = 3
Шаг 2. Значит, один из корней равен 3. Проверим: подставим x = 3 в уравнение: 3³ - 9·3² + m·3 - 15 = 0 27 - 81 + 3m - 15 = 0 3m - 69 = 0 m = 23
Шаг 3. Проверим, что при m = 23 корни действительно образуют арифметическую прогрессию. Уравнение: x³ - 9x² + 23x - 15 = 0
Делим на (x - 3): x³ - 9x² + 23x - 15 = (x - 3)(x² - 6x + 5)
Решаем x² - 6x + 5 = 0: D = 36 - 20 = 16 x = (6 ± 4)/2 x₁ = 1, x₂ = 5
Шаг 4. Корни уравнения: 1, 3, 5 Проверка: это арифметическая прогрессия с разностью d = 2. 1, 3, 5 — верно!