Номер 845 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 845.
При каких значениях m квадратный трёхчлен mx2 + (m – 1)x + m – 1 принимает только отрицательные значения?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни условия, при которых парабола полностью лежит ниже оси x: коэффициент при x² должен быть отрицательным, а дискриминант должен быть отрицательным. Найди дискриминант и реши два неравенства одновременно.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Чтобы квадратный трёхчлен принимал только отрицательные значения, нужны два условия:
Коэффициент при x² должен быть отрицательным (ветви параболы вниз): m < 0
Дискриминант должен быть отрицательным (парабола не пересекает ось x): D < 0
Вычислим дискриминант для уравнения mx² + (m - 1)x + m - 1 = 0:
D = b² - 4ac
Здесь:
- a = m
- b = m - 1
- c = m - 1
D = (m - 1)² - 4·m·(m - 1)
Раскроем скобки: D = m² - 2m + 1 - 4m² + 4m D = -3m² + 2m + 1
Условие D < 0: -3m² + 2m + 1 < 0
Умножим на (-1), изменив знак: 3m² - 2m - 1 > 0
Решим уравнение 3m² - 2m - 1 = 0:
D' = 4 + 12 = 16 m = (2 ± 4)/6
m₁ = (2 + 4)/6 = 1 m₂ = (2 - 4)/6 = -1/3
Парабола 3m² - 2m - 1 открывается вверх, поэтому: 3m² - 2m - 1 > 0 при m < -1/3 или m > 1
Теперь совмещаем оба условия:
- m < 0 (ветви вниз)
- m < -1/3 или m > 1 (дискриминант отрицательный)
Пересечение этих условий: m < -1/3 (эта часть входит и в m < 0, и в m < -1/3)
Ответ: m < -1/3