Номер 840 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 840.
Докажите, что при любых значениях а, b и с график функции у = (х – а)(х – b) – c2 имеет хотя бы одну общую точку с осью х.
💡 Подсказка (без ответа)
Приравняйте функцию к нулю и найдите дискриминант получившегося квадратного уравнения. Покажите, что дискриминант всегда неотрицательный, представив его как сумму двух неотрицательных выражений.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что уравнение (х – а)(х – b) – c² = 0 имеет решение при любых значениях а, b и с.
Шаг 1. Раскроем скобки и преобразуем уравнение: (х – а)(х – b) – c² = 0 х² – bx – ax + ab – c² = 0 х² – (a + b)x + ab – c² = 0
Шаг 2. Найдём дискриминант этого квадратного уравнения: D = (a + b)² – 4(ab – c²) D = a² + 2ab + b² – 4ab + 4c² D = a² – 2ab + b² + 4c² D = (a – b)² + 4c²
Шаг 3. Проанализируем дискриминант:
- (a – b)² ≥ 0 (квадрат любого числа неотрицателен)
- 4c² ≥ 0 (квадрат любого числа неотрицателен)
Поэтому D = (a – b)² + 4c² ≥ 0 при любых значениях а, b и с.
Шаг 4. Вывод: Поскольку дискриминант D ≥ 0, квадратное уравнение имеет решение (один или два корня). Это означает, что парабола у = (х – а)(х – b) – c² пересекает ось х хотя бы в одной точке.
Что и требовалось доказать.