Номер 77 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 77.
Если радиус круга увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 1 см, то его площадь увеличится на π см2. Найдите радиус круга.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь радиус исходного круга как r. Запиши формулу площади исходного круга и площади после увеличения в 2 раза и уменьшения на 1 см. Используй условие, что разница площадей равна π см².
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим радиус исходного круга как r см.
Шаг 1. Найдём площадь исходного круга: S₁ = πr²
Шаг 2. Радиус увеличили в 2 раза: Новый радиус = 2r см
Шаг 3. Затем уменьшили на 1 см: Итоговый радиус = 2r - 1 см
Шаг 4. Найдём площадь круга с новым радиусом: S₂ = π(2r - 1)²
Шаг 5. Раскроем скобки: S₂ = π(4r² - 4r + 1) S₂ = 4πr² - 4πr + π
Шаг 6. По условию, площадь увеличилась на π см²: S₂ - S₁ = π
Шаг 7. Подставим: (4πr² - 4πr + π) - πr² = π
Шаг 8. Упростим: 4πr² - 4πr + π - πr² = π 3πr² - 4πr + π = π
Шаг 9. Перенесём π в левую часть: 3πr² - 4πr = 0
Шаг 10. Вынесем πr за скобки: πr(3r - 4) = 0
Шаг 11. Так как r ≠ 0, то: 3r - 4 = 0 3r = 4 r = 4/3 см ≈ 1,33 см
Шаг 12. Проверка: если r = 4/3, то новый радиус = 2 · 4/3 - 1 = 8/3 - 1 = 5/3 см. Осталось убедиться, что площадь увеличилась на π: S₁ = π(4/3)² = 16π/9 S₂ = π(5/3)² = 25π/9 S₂ - S₁ = 25π/9 - 16π/9 = 9π/9 = π ✓