Номер 713 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 713.
Докажите, что:
а) Значение выражение а2 + 2а + 2 ни при каком значении переменной а не может быть отрицательным;
б) выражение 2х2 - 2ху + у2 при любых значениях х и у принимает неотрицательные значения.
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих пунктах нужно выделить полный квадрат (или сумму квадратов). Вспомни формулу: a² + 2ab + b² = (a + b)². После преобразования получишь сумму квадратов, которые всегда ≥ 0.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Докажите, что a² + 2a + 2 ≥ 0 при любых значениях a
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
a² + 2a + 2 = a² + 2a + 1 + 1 = (a + 1)² + 1
Анализируем:
- (a + 1)² — это квадрат числа, поэтому (a + 1)² ≥ 0 при любых значениях a
- 1 — положительное число
- Сумма: (a + 1)² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Вывод: выражение a² + 2a + 2 всегда больше нуля, значит, оно никогда не может быть отрицательным.
б) Докажите, что 2x² - 2xy + y² ≥ 0 при любых значениях x и y
Преобразуем выражение, выделив полные квадраты:
2x² - 2xy + y² = x² + x² - 2xy + y²
Перегруппируем:
2x² - 2xy + y² = x² - 2xy + y² + x² = (x - y)² + x²
Анализируем:
- (x - y)² — это квадрат числа, поэтому (x - y)² ≥ 0
- x² — это квадрат числа, поэтому x² ≥ 0
- Сумма двух неотрицательных чисел: (x - y)² + x² ≥ 0
Вывод: выражение 2x² - 2xy + y² всегда неотрицательно (больше или равно нулю).