Номер 680 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 680.
Упростите выражение, применив формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:
а) 1 + х + х2 + х3 + х4, где х ≠ 1 и х ≠ 0;
б) 1 – х + х2 – х3 + х4 – х5 + х6, где х ≠ –1 и х ≠ 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Определи первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Обрати внимание, что во втором примере знаменатель прогрессии равен (–х), а не х. Затем подставь в формулу суммы геометрической прогрессии.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Упростим выражения, используя формулу суммы геометрической прогрессии: S_n = b₁(q^n - 1)/(q - 1), где b₁ — первый член, q — знаменатель прогрессии.
а) 1 + х + х² + х³ + х⁴
Это геометрическая прогрессия, где:
- Первый член b₁ = 1
- Знаменатель q = х
- Количество членов n = 5
Применяем формулу: S₅ = 1 · (х⁵ - 1)/(х - 1) = (х⁵ - 1)/(х - 1)
Ответ: (х⁵ - 1)/(х - 1)
б) 1 – х + х² – х³ + х⁴ – х⁵ + х⁶
Это геометрическая прогрессия, где:
- Первый член b₁ = 1
- Знаменатель q = –х (так как каждый следующий член получается умножением на –х)
- Количество членов n = 7
Применяем формулу: S₇ = 1 · ((−х)⁷ − 1)/(−х − 1) = (−х⁷ − 1)/(−х − 1)
Упростим: разделим числитель и знаменатель на (−1): S₇ = (х⁷ + 1)/(х + 1)
Ответ: (х⁷ + 1)/(х + 1)