Номер 675 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 675.
Докажите, что если (аn) – геометрическая прогрессия, то:
а) а2 · а6 = а3 · а5;
б) аn - 3 · аn + 8 = аn · аn + 5, где n > 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу общего члена геометрической прогрессии: аn = а₁ · q^(n-1). Подставь эту формулу для каждого члена в обе части равенства и сравни показатели степеней q.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Доказательство для геометрической прогрессии
Помним, что для геометрической прогрессии (аn) с первым членом а₁ и знаменателем q верна формула: аn = а₁ · q^(n-1)
а) Доказать: а₂ · а₆ = а₃ · а₅
Выразим каждый член через первый член и знаменатель:
- а₂ = а₁ · q
- а₃ = а₁ · q²
- а₅ = а₁ · q⁴
- а₆ = а₁ · q⁵
Левая часть: а₂ · а₆ = (а₁ · q) · (а₁ · q⁵) = а₁² · q⁶
Правая часть: а₃ · а₅ = (а₁ · q²) · (а₁ · q⁴) = а₁² · q⁶
Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.
б) Доказать: аn-3 · аn+8 = аn · аn+5, где n > 3
Выразим каждый член через первый член и знаменатель:
- аn-3 = а₁ · q^(n-4)
- аn = а₁ · q^(n-1)
- аn+5 = а₁ · q^(n+4)
- аn+8 = а₁ · q^(n+7)
Левая часть: аn-3 · аn+8 = (а₁ · q^(n-4)) · (а₁ · q^(n+7)) = а₁² · q^(n-4+n+7) = а₁² · q^(2n+3)
Правая часть: аn · аn+5 = (а₁ · q^(n-1)) · (а₁ · q^(n+4)) = а₁² · q^(n-1+n+4) = а₁² · q^(2n+3)
Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.