Номер 670 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 670.
Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию?
💡 Подсказка (без ответа)
Составь систему условий для трёх чисел. Напиши, что для АП средний член равен среднему арифметическому крайних: b = (a + c)/2. Напиши условие для ГП: b² = a·c. Подставь первое во второе и упрости.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим три числа, которые одновременно составляют арифметическую и геометрическую прогрессию, как a, b, c.
Для арифметической прогрессии выполняется условие: b - a = c - b, откуда b = (a + c)/2
Для геометрической прогрессии выполняется условие: b/a = c/b, откуда b² = a·c
Подставим первое условие во второе: ((a + c)/2)² = a·c
Раскроем скобки: (a + c)²/4 = a·c
Умножим обе части на 4: (a + c)² = 4ac
Раскроем левую часть: a² + 2ac + c² = 4ac
Перенесем все в левую часть: a² + 2ac + c² - 4ac = 0 a² - 2ac + c² = 0
Получилось: (a - c)² = 0
Следовательно: a - c = 0, откуда a = c
Если a = c, то из условия арифметической прогрессии b = (a + c)/2 = (a + a)/2 = a.
Получаем: a = b = c
Это означает, что все три числа должны быть равны между собой.
Проверка: если a = b = c = k (где k — любое число), то:
- для АП: k, k, k — разность d = 0 ✓
- для ГП: k, k, k — знаменатель q = 1 ✓
Вывод: Да, существуют три числа, составляющие одновременно и арифметическую, и геометрическую прогрессию. Это три равных числа вида: k, k, k (где k ≠ 0 для ГП).