Номер 663 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 663.
Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу суммы арифметической прогрессии Sₙ = (2a₁ + d(n-1))/2 · n. Составь два уравнения, подставив в формулу данные значения S₁₀ = 100 и S₃₀ = 900. Реши систему уравнений, чтобы найти a₁ и d.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим первый член прогрессии как a₁, а разность как d.
Для суммы первых n членов арифметической прогрессии используем формулу: Sₙ = (2a₁ + d(n-1))/2 · n
Шаг 1: Составим уравнение для суммы первых 10 членов. S₁₀ = (2a₁ + d·9)/2 · 10 = 100 (2a₁ + 9d) · 5 = 100 2a₁ + 9d = 20
Шаг 2: Составим уравнение для суммы первых 30 членов. S₃₀ = (2a₁ + d·29)/2 · 30 = 900 (2a₁ + 29d) · 15 = 900 2a₁ + 29d = 60
Шаг 3: Решим систему уравнений. Вычтем первое уравнение из второго: (2a₁ + 29d) - (2a₁ + 9d) = 60 - 20 20d = 40 d = 2
Шаг 4: Найдём a₁. Подставим d = 2 в первое уравнение: 2a₁ + 9·2 = 20 2a₁ + 18 = 20 2a₁ = 2 a₁ = 1
Шаг 5: Найдём сумму первых 40 членов. S₄₀ = (2a₁ + d·39)/2 · 40 S₄₀ = (2·1 + 2·39)/2 · 40 S₄₀ = (2 + 78)/2 · 40 S₄₀ = 80/2 · 40 S₄₀ = 40 · 40 S₄₀ = 1600