Номер 661 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев

Вспомни правило для произведения степеней: x^a · x^b = x^(a+b). В числителе и знаменателе нужно найти сумму всех показателей степеней. Для суммы чисел 1 + 2 + 3 + ... + n используй формулу n(n+1)/2.

Упростим каждое выражение, используя правило произведения степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

а) (x · x² · x³ · ... · xⁿ) / (x · x³ · x⁵ · ... · x²ⁿ⁻¹)

Числитель:

• Показатели степеней: 1, 2, 3, ..., n
• Сумма показателей = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
• Числитель = x^(n(n+1)/2)

Знаменатель:

• Показатели степеней: 1, 3, 5, ..., (2n - 1) — это нечётные числа
• Это арифметическая прогрессия с первым членом 1, разностью 2, последним членом (2n - 1)
• Количество членов = n
• Сумма = n · (1 + (2n - 1))/2 = n · 2n/2 = n²
• Знаменатель = x^(n²)

Ответ: x^(n(n+1)/2) / x^(n²) = x^(n(n+1)/2 - n²) = x^((n² + n - 2n²)/2) = x^((n - n²)/2) = x^(n(1 - n)/2)

Или можно записать как: x^(n - n²)/2) = 1/x^(n(n-1)/2)

б) (x² · x⁴ · x⁶ · ... · x²ⁿ) / (x · x² · x³ · ... · xⁿ)

Числитель:

• Показатели: 2, 4, 6, ..., 2n — это чётные числа
• Сумма = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = 2 · n(n + 1)/2 = n(n + 1)
• Числитель = x^(n(n+1))

Знаменатель:

• Показатели: 1, 2, 3, ..., n
• Сумма = n(n + 1)/2
• Знаменатель = x^(n(n+1)/2)

Ответ: x^(n(n+1)) / x^(n(n+1)/2) = x^(n(n+1) - n(n+1)/2) = x^(n(n+1)/2) = x^(n(n+1)/2)