Номер 648 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 648.
Докажите, что если (уn) – арифметическая прогрессия, то:
а) у2 + у7 = у4 + у5;
б) уn - 5 + уn + 10 = уn + уn + 5, где n > 5.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу n-го члена арифметической прогрессии: уn = у1 + d(n - 1). Выражай каждый член через первый член и разность, затем сравни левую и правую части равенства. Они должны совпасть.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Вспомним формулу n-го члена арифметической прогрессии: уn = у1 + d(n - 1), где у1 — первый член, d — разность прогрессии.
а) Докажем, что у2 + у7 = у4 + у5
Выразим каждый член через у1 и d:
- у2 = у1 + d
- у7 = у1 + 6d
- у4 = у1 + 3d
- у5 = у1 + 4d
Левая часть: у2 + у7 = (у1 + d) + (у1 + 6d) = 2у1 + 7d
Правая часть: у4 + у5 = (у1 + 3d) + (у1 + 4d) = 2у1 + 7d
Получилось: 2у1 + 7d = 2у1 + 7d ✓
Что и требовалось доказать.
б) Докажем, что уn-5 + уn+10 = уn + уn+5
Выразим каждый член через у1 и d:
- уn-5 = у1 + d(n - 5 - 1) = у1 + d(n - 6)
- уn+10 = у1 + d(n + 10 - 1) = у1 + d(n + 9)
- уn = у1 + d(n - 1)
- уn+5 = у1 + d(n + 5 - 1) = у1 + d(n + 4)
Левая часть: уn-5 + уn+10 = [у1 + d(n - 6)] + [у1 + d(n + 9)] = 2у1 + d(n - 6 + n + 9) = 2у1 + d(2n + 3)
Правая часть: уn + уn+5 = [у1 + d(n - 1)] + [у1 + d(n + 4)] = 2у1 + d(n - 1 + n + 4) = 2у1 + d(2n + 3)
Получилось: 2у1 + d(2n + 3) = 2у1 + d(2n + 3) ✓
Что и требовалось доказать.