Номер 635 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 635.
Докажите, что разность 49n – 1 кратна 48 при любом натуральном n.
💡 Подсказка (без ответа)
Представь 49 как сумму 48 и 1. Затем примени формулу бинома Ньютона (a + b)^n и выдели из полученного выражения множитель 48.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что 49^n - 1 делится на 48 при любом натуральном n.
Шаг 1. Заметим, что 49 = 48 + 1. Подставим это в выражение: 49^n - 1 = (48 + 1)^n - 1
Шаг 2. Раскроем скобки по формуле бинома Ньютона: (48 + 1)^n = C(n,0)·48^0 + C(n,1)·48^1 + C(n,2)·48^2 + ... + C(n,n)·48^n
Где C(n,k) — биномиальные коэффициенты.
Это равно: 1 + n·48 + C(n,2)·48^2 + C(n,3)·48^3 + ... + 48^n
Шаг 3. Тогда: 49^n - 1 = (1 + n·48 + C(n,2)·48^2 + ... + 48^n) - 1
49^n - 1 = n·48 + C(n,2)·48^2 + C(n,3)·48^3 + ... + 48^n
Шаг 4. Вынесем общий множитель 48: 49^n - 1 = 48·(n + C(n,2)·48 + C(n,3)·48^2 + ... + 48^(n-1))
Шаг 5. В скобках стоит целое число (сумма целых чисел), поэтому: 49^n - 1 = 48 · (целое число)
Следовательно, 49^n - 1 кратно 48 при любом натуральном n.
Проверка для n = 1: 49 - 1 = 48, делится на 48 ✓ Проверка для n = 2: 49² - 1 = 2401 - 1 = 2400 = 48 · 50 ✓