Номер 622 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 622.
Первый член геометрической прогрессии равен 2, а пятый равен 162. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии, если известно, что её члены с чётными номерами отрицательны, а с нечётной – положительны.
💡 Подсказка (без ответа)
Воспользуйтесь формулой n-го члена геометрической прогрессии bₙ = b₁ · q^(n-1), чтобы найти знаменатель q. Обратите внимание: если члены чередуют знаки (нечётные положительны, чётные отрицательны), то q — отрицательное число.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Давайте решим эту задачу пошагово.
Шаг 1. Найдём знаменатель прогрессии (q).
Дано:
- Первый член: b₁ = 2
- Пятый член: b₅ = 162
Формула n-го члена геометрической прогрессии: bₙ = b₁ · q^(n-1)
Для пятого члена: b₅ = b₁ · q⁴ 162 = 2 · q⁴ q⁴ = 81
Отсюда q = ±3
Шаг 2. Определим знак q.
По условию:
- Члены с нечётными номерами (b₁, b₃, b₅, ...) положительны
- Члены с чётными номерами (b₂, b₄, b₆, ...) отрицательны
Это происходит, когда q отрицательное (знак меняется с каждым членом).
Так как b₁ = 2 > 0 и b₂ должен быть отрицательным, то: q = -3
Шаг 3. Найдём первые шесть членов.
b₁ = 2 b₂ = 2 · (-3) = -6 b₃ = 2 · (-3)² = 2 · 9 = 18 b₄ = 2 · (-3)³ = 2 · (-27) = -54 b₅ = 2 · (-3)⁴ = 2 · 81 = 162 b₆ = 2 · (-3)⁵ = 2 · (-243) = -486
Проверка: чётные члены отрицательны (b₂ = -6, b₄ = -54, b₆ = -486), нечётные положительны (b₁ = 2, b₃ = 18, b₅ = 162). ✓
Шаг 4. Найдём сумму первых шести членов.
Формула суммы: Sₙ = b₁ · (1 - q^n) / (1 - q)
S₆ = 2 · (1 - (-3)⁶) / (1 - (-3)) S₆ = 2 · (1 - 729) / (1 + 3) S₆ = 2 · (-728) / 4 S₆ = -1456 / 4 S₆ = -364
Или проще — сложим члены напрямую: S₆ = 2 + (-6) + 18 + (-54) + 162 + (-486) = -364