Номер 611 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 611.
Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если извесно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь три числа арифметической прогрессии как (a - d), a, (a + d). Сначала найди a из условия суммы, затем составь уравнение, используя свойство геометрической прогрессии для преобразованных чисел.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим три числа арифметической прогрессии через a - d, a, a + d, где a > 0, d — разность прогрессии.
Шаг 1: Используем условие суммы. (a - d) + a + (a + d) = 15 3a = 15 a = 5
Тогда числа: (5 - d), 5, (5 + d).
Шаг 2: После увеличения чисел получаем новую последовательность. Первое число: (5 - d) + 1 = 6 - d Второе число: 5 + 1 = 6 Третье число: (5 + d) + 4 = 9 + d
Шаг 3: Эти числа образуют геометрическую прогрессию. Для геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению крайних: 6² = (6 - d)(9 + d) 36 = 54 + 6d - 9d - d² 36 = 54 - 3d - d² d² + 3d + 36 - 54 = 0 d² + 3d - 18 = 0
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение. D = 9 + 72 = 81 d₁ = (-3 + 9)/2 = 3 d₂ = (-3 - 9)/2 = -6
Шаг 5: Проверяем оба случая. Если d = 3: Числа: 2, 5, 8 (все положительные ✓) После преобразования: 3, 6, 12 Проверка геометрической прогрессии: 6/3 = 2, 12/6 = 2 ✓
Если d = -6: Числа: 11, 5, -1 (третье отрицательное ✗) Этот случай не подходит.
Ответ: числа равны 2, 5, 8.