Номер 610 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 610.
Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь три числа арифметической прогрессии как (a-d), a, (a+d). Сначала найди a из условия суммы. Потом используй свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению крайних.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим три числа арифметической прогрессии через a-d, a и a+d, где a — второе число, d — разность прогрессии.
- Используем условие про сумму: (a-d) + a + (a+d) = 21 3a = 21 a = 7
Итак, второе число равно 7. Три числа: (7-d), 7, (7+d)
- Теперь применим условие про геометрическую прогрессию. После изменений получаем: — первое число: (7-d) — остаётся как есть — второе число: 7-1 = 6 — третье число: (7+d)+1 = (8+d)
Эти три числа образуют геометрическую прогрессию, поэтому квадрат среднего члена равен произведению крайних: 6² = (7-d)·(8+d) 36 = 56 + 7d - 8d - d² 36 = 56 - d - d² d² + d + 36 - 56 = 0 d² + d - 20 = 0
Решаем квадратное уравнение: D = 1 + 80 = 81 d₁ = (-1 + 9)/2 = 4 d₂ = (-1 - 9)/2 = -5
Находим три числа для каждого случая: При d = 4: числа (7-4), 7, (7+4) = 3, 7, 11 При d = -5: числа (7+5), 7, (7-5) = 12, 7, 2
Проверим геометрическую прогрессию: — для (3, 7, 11): становятся 3, 6, 12. Проверка: 6/3 = 2, 12/6 = 2 ✓ — для (12, 7, 2): становятся 12, 6, 3. Проверка: 6/12 = 0,5, 3/6 = 0,5 ✓