Номер 583 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 583.
Укажите наибольшее число членов арифмитической прогресии 3, 5, 7, ... , сумма которых не превосходит 120.
💡 Подсказка (без ответа)
Запишите формулу суммы n членов арифметической прогрессии S_n = (2a₁ + d(n - 1)) × n / 2, подставьте известные значения a₁ = 3 и d = 2, затем решите неравенство S_n ≤ 120.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Дано: арифметическая прогрессия 3, 5, 7, ...
Шаг 1. Найдём параметры прогрессии. Первый член: a₁ = 3 Разность: d = 5 - 3 = 2
Шаг 2. Запишем формулу суммы n членов арифметической прогрессии. S_n = (2a₁ + d(n - 1)) × n / 2
Шаг 3. Подставим наши значения. S_n = (2 × 3 + 2(n - 1)) × n / 2 S_n = (6 + 2n - 2) × n / 2 S_n = (4 + 2n) × n / 2 S_n = (2n + 4) × n / 2 S_n = n(2n + 4) / 2 S_n = n(n + 2) S_n = n² + 2n
Шаг 4. По условию сумма не должна превосходить 120. n² + 2n ≤ 120 n² + 2n - 120 ≤ 0
Шаг 5. Решаем квадратное уравнение n² + 2n - 120 = 0. По формуле дискриминанта: D = 4 + 480 = 484 √D = 22
n = (-2 + 22) / 2 = 20 / 2 = 10 n = (-2 - 22) / 2 = -24 / 2 = -12
Шаг 6. Из решения неравенства получаем: -12 ≤ n ≤ 10. Поскольку n — количество членов (натуральное число), то n ≤ 10.
Шаг 7. Проверим: При n = 10: S₁₀ = 10² + 2 × 10 = 100 + 20 = 120 ✓ При n = 11: S₁₁ = 11² + 2 × 11 = 121 + 22 = 143 (больше 120, не подходит)
Ответ: наибольшее число членов равно 10.