Номер 564 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 564.
Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогресией. Чему равна её разность?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу суммы внутренних углов многоугольника: S = (n - 2) · 180°. Вычисли суммы для треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и проверь, одинакова ли разность между соседними членами последовательности.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим количество сторон многоугольника как n. Найдём сумму внутренних углов для разных многоугольников.
Шаг 1: Формула суммы внутренних углов Для выпуклого n-угольника сумма внутренних углов вычисляется по формуле: S(n) = (n - 2) · 180°
Шаг 2: Вычислим суммы для конкретных многоугольников
Треугольник (n = 3): S(3) = (3 - 2) · 180° = 1 · 180° = 180°
Четырёхугольник (n = 4): S(4) = (4 - 2) · 180° = 2 · 180° = 360°
Пятиугольник (n = 5): S(5) = (5 - 2) · 180° = 3 · 180° = 540°
Шестиугольник (n = 6): S(6) = (6 - 2) · 180° = 4 · 180° = 720°
Шаг 3: Запишем последовательность 180°, 360°, 540°, 720°, ...
Шаг 4: Проверим, является ли это арифметической прогрессией
Найдём разность между соседними членами:
- 360° - 180° = 180°
- 540° - 360° = 180°
- 720° - 540° = 180°
Разность постоянна и равна 180°, поэтому это арифметическая прогрессия.
Шаг 5: Доказательство в общем виде
Общий член последовательности: a(n) = (n - 2) · 180°
Разность между соседними членами: a(n+1) - a(n) = [(n+1) - 2] · 180° - [(n - 2) · 180°] = (n - 1) · 180° - (n - 2) · 180° = 180° · [(n - 1) - (n - 2)] = 180° · 1 = 180°
Разность постоянна, что доказывает, что это арифметическая прогрессия.