Номер 53 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 53.
а) Разность корней уравнения х2 − 8х + q = 0 равна 16. Найдите q.
б) Сумма квадратов корней уравнения х2 − 7х + q = 0 равна 29. Найдите q.
💡 Подсказка (без ответа)
а) Используй теорему Виета для суммы и произведения корней. Составь систему из суммы и разности корней, чтобы найти сами корни. б) Вспомни формулу (х₁ + х₂)² = х₁² + х₂² + 2х₁х₂. Отсюда выражай произведение корней через сумму их квадратов.
Решение по шагам
а) Разность корней уравнения х² − 8х + q = 0 равна 16. Найдите q.
Шаг 1. По теореме Виета для уравнения х² − 8х + q = 0: • х₁ + х₂ = 8 • х₁ · х₂ = q
Шаг 2. По условию разность корней: х₁ − х₂ = 16 (или х₂ − х₁ = 16, без разницы)
Шаг 3. Найдём корни через систему: х₁ + х₂ = 8 х₁ − х₂ = 16
Сложим уравнения: 2х₁ = 24, откуда х₁ = 12 Вычтем: 2х₂ = −8, откуда х₂ = −4
Шаг 4. Найдём q: q = х₁ · х₂ = 12 · (−4) = −48
Ответ: q = −48
б) Сумма квадратов корней уравнения х² − 7х + q = 0 равна 29. Найдите q.
Шаг 1. По теореме Виета: • х₁ + х₂ = 7 • х₁ · х₂ = q
Шаг 2. По условию: х₁² + х₂² = 29
Шаг 3. Используем формулу (х₁ + х₂)² = х₁² + 2х₁х₂ + х₂²: (х₁ + х₂)² = х₁² + х₂² + 2х₁х₂
Шаг 4. Подставим известные значения: 7² = 29 + 2q 49 = 29 + 2q 2q = 20 q = 10
Ответ: q = 10