Номер 510 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 510.
Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеех труб?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь время наполнения второй трубой как x часов. Тогда первая труба работает (x - 5) часов. Вспомни, что производительность = 1/время. Составь уравнение на основе того, что 5 часов первой трубы плюс 7,5 часов второй трубы = 1 полный бассейн.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим время наполнения бассейна второй трубой как x часов. Тогда первая труба наполняет бассейн за (x - 5) часов.
Производительность (часть бассейна в час):
- Первая труба: 1/(x - 5)
- Вторая труба: 1/x
По условию задачи: первая труба работает 5 часов, вторая труба работает 7,5 часов, и бассейн наполняется полностью.
Составляем уравнение: 5 · 1/(x - 5) + 7,5 · 1/x = 1
Умножаем обе части на x(x - 5): 5x + 7,5(x - 5) = x(x - 5) 5x + 7,5x - 37,5 = x² - 5x 12,5x - 37,5 = x² - 5x 0 = x² - 5x - 12,5x + 37,5 0 = x² - 17,5x + 37,5
Умножаем на 2 для удобства: 0 = 2x² - 35x + 75
Решаем через дискриминант: D = 35² - 4 · 2 · 75 = 1225 - 600 = 625 √D = 25
x₁ = (35 + 25)/(2 · 2) = 60/4 = 15 x₂ = (35 - 25)/(2 · 2) = 10/4 = 2,5
Проверим x₂ = 2,5: первая труба работает x - 5 = 2,5 - 5 = -2,5 ч (невозможно).
Значит, x = 15 часов — время для второй трубы. Первая труба: 15 - 5 = 10 часов.
Производительность при совместной работе: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6
Время наполнения: 1 ÷ (1/6) = 6 часов.