Номер 433 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 433.
Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Одни экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь время работы первого экскаватора через x, тогда второй работает (x + 4) часов. Напиши, какую часть работы делает каждый за 1 час (1/x и 1/(x+4)), и составь уравнение для совместной работы за 3,75 часов.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим время работы первого экскаватора как x часов, тогда второй экскаватор выполнит работу за (x + 4) часов.
Переведём 3 ч 45 мин в часы: 3 ч 45 мин = 3 + 45/60 = 3 + 3/4 = 3,75 часов.
Производительность (часть работы в час):
- Первый экскаватор: 1/x работы в час
- Второй экскаватор: 1/(x + 4) работы в час
Когда оба работают вместе 3,75 часов, они выполняют всю работу (1):
3,75 · (1/x + 1/(x + 4)) = 1
Раскроем скобки: 3,75 · (1/x + 1/(x + 4)) = 1
3,75/x + 3,75/(x + 4) = 1
Умножим на x(x + 4): 3,75(x + 4) + 3,75x = x(x + 4)
3,75x + 15 + 3,75x = x² + 4x
7,5x + 15 = x² + 4x
x² + 4x - 7,5x - 15 = 0
x² - 3,5x - 15 = 0
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: 2x² - 7x - 30 = 0
Решаем через дискриминант: D = 49 + 4 · 2 · 30 = 49 + 240 = 289 = 17²
x = (7 ± 17) / 4
x₁ = (7 + 17) / 4 = 24/4 = 6 часов
x₂ = (7 - 17) / 4 = -10/4 = -2,5 (отрицательное значение не подходит)
Значит, первый экскаватор выполняет работу за 6 часов.
Второй экскаватор выполняет работу за: 6 + 4 = 10 часов.
Проверка: совместная производительность = 1/6 + 1/10 = 5/30 + 3/30 = 8/30 = 4/15 работы в час.
Время совместной работы = 1 ÷ (4/15) = 15/4 = 3,75 часов = 3 ч 45 мин ✓