Номер 395 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 395.
Окружность (х – 4) + (у – 6) = 25 и прямая у = kx имеют общую точку М(1; 2). Найдите координаты другой общей точки, если такая точка существует.
💡 Подсказка (без ответа)
1) Проверьте, лежит ли М на окружности, подставив её координаты в уравнение. 2) Найдите коэффициент k, используя то, что прямая у = kx проходит через М. 3) Подставьте у = 2x в уравнение окружности и решите квадратное уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Шаг 1. Проверим, лежит ли точка М(1; 2) на окружности.
Подставим координаты М(1; 2) в уравнение окружности: (1 – 4)² + (2 – 6)² = (–3)² + (–4)² = 9 + 16 = 25 ✓
Точка М действительно лежит на окружности.
Шаг 2. Найдём значение k для прямой у = kx.
Так как прямая проходит через точку М(1; 2): 2 = k · 1 k = 2
Уравнение прямой: у = 2x
Шаг 3. Найдём точки пересечения прямой и окружности.
Подставим у = 2x в уравнение окружности: (x – 4)² + (2x – 6)² = 25
Раскроем скобки: (x – 4)² + (2x – 6)² = 25 x² – 8x + 16 + 4x² – 24x + 36 = 25 5x² – 32x + 52 = 25 5x² – 32x + 27 = 0
Шаг 4. Решим квадратное уравнение.
D = (–32)² – 4 · 5 · 27 = 1024 – 540 = 484 = 22²
x₁ = (32 + 22) / (2 · 5) = 54 / 10 = 5,4 x₂ = (32 – 22) / (2 · 5) = 10 / 10 = 1
Шаг 5. Найдём соответствующие координаты y.
Для x₁ = 5,4: y₁ = 2 · 5,4 = 10,8 Для x₂ = 1: y₂ = 2 · 1 = 2 (это точка М)
Вывод: вторая общая точка имеет координаты (5,4; 10,8).