Номер 394 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 394.
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:
а) окружности х2 + у2 = 36 и параболы у = х2 + 6;
б) окружностей х2 + у2 = 16 и (х – 2)2 + у2 = 36;
в) окружности х2 + у2 = 25 и прямой 4х – у = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Подставьте одно уравнение в другое, чтобы избавиться от одной переменной. Получится уравнение с одной неизвестной, которое нужно решить, а потом найти вторую переменную.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решаем систему уравнений для каждого пункта.
а) Окружность х² + у² = 36 и парабола у = х² + 6
Подставим у = х² + 6 в первое уравнение: x² + (x² + 6)² = 36
Раскроем скобки: x² + x⁴ + 12x² + 36 = 36
Упростим: x⁴ + 13x² = 0 x²(x² + 13) = 0
Отсюда: x² = 0 или x² + 13 = 0
Первое: x = 0 Второе: x² = -13 — нет решений (квадрат не может быть отрицательным)
При x = 0: у = 0² + 6 = 6
Ответ: (0; 6)
б) Окружности х² + у² = 16 и (х – 2)² + у² = 36
Раскроем скобки во втором уравнении: x² - 4x + 4 + y² = 36
Теперь вычтем первое уравнение из полученного: (x² - 4x + 4 + y²) - (x² + y²) = 36 - 16 -4x + 4 = 20 -4x = 16 x = -4
Подставим x = -4 в первое уравнение: (-4)² + y² = 16 16 + y² = 16 y² = 0 y = 0
Ответ: (-4; 0)
в) Окружность х² + у² = 25 и прямая 4х – у = 0
Из прямой выразим у: у = 4х
Подставим в уравнение окружности: x² + (4x)² = 25 x² + 16x² = 25 17x² = 25 x² = 25/17 x = ±5/√17 = ±5√17/17
Найдём у: При x = 5√17/17: у = 4 · 5√17/17 = 20√17/17 При x = -5√17/17: у = 4 · (-5√17/17) = -20√17/17
Ответ: (5√17/17; 20√17/17) и (-5√17/17; -20√17/17)
Или в приблизительном виде: (1,21; 4,85) и (-1,21; -4,85)