ГлавнаяГДЗАлгебра 9 класс МакарычевНомер 321

Номер 321 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев

№ 321.

Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) (х2 + 6х)2 − 5(х2 + 6х) = 24;
б) (х2 − 2х − 5)2 − 2(х2 − 2х − 5) = 3;
в) (х2 + 3х − 25)2 − 2(х2 + 3х − 25) = −7;
г) (у + 2)4 − (у + 2)2 = 12;
д) (х2 + 2х)(х2 + 2х + 2) = 3;
е) (х2 − х − 16)(х2 − х + 2) = 88;
ж) (2х2 + 7х − 8)(2х2 + 7х − 3) − 6 = 0.

💡 Подсказка (без ответа)

Метод введения новой переменной: найди одинаковое выражение в уравнении, обозначь его буквой t, реши новое квадратное уравнение относительно t. Затем для каждого значения t подставь обратно исходное выражение и реши полученное уравнение.

Решение по шагам · ✓ ответ сверен

Решим уравнения методом введения новой переменной.

а) (х² + 6х)² − 5(х² + 6х) = 24

Обозначим: t = х² + 6х

Получаем: t² − 5t = 24

Переносим всё влево: t² − 5t − 24 = 0

Решаем квадратное уравнение: D = 25 + 96 = 121 t = (5 ± 11)/2 t₁ = 8, t₂ = −3

Возвращаемся к х:

  1. х² + 6х = 8 х² + 6х − 8 = 0 D = 36 + 32 = 68 х = (−6 ± √68)/2 = (−6 ± 2√17)/2 = −3 ± √17

  2. х² + 6х = −3 х² + 6х + 3 = 0 D = 36 − 12 = 24 х = (−6 ± √24)/2 = (−6 ± 2√6)/2 = −3 ± √6

б) (х² − 2х − 5)² − 2(х² − 2х − 5) = 3

Обозначим: t = х² − 2х − 5

Получаем: t² − 2t = 3

Переносим: t² − 2t − 3 = 0

(t − 3)(t + 1) = 0 t₁ = 3, t₂ = −1

  1. х² − 2х − 5 = 3 х² − 2х − 8 = 0 (х − 4)(х + 2) = 0 х₁ = 4, х₂ = −2

  2. х² − 2х − 5 = −1 х² − 2х − 4 = 0 D = 4 + 16 = 20 х = (2 ± 2√5)/2 = 1 ± √5

в) (х² + 3х − 25)² − 2(х² + 3х − 25) = −7

Обозначим: t = х² + 3х − 25

Получаем: t² − 2t = −7

Переносим: t² − 2t + 7 = 0

D = 4 − 28 = −24 < 0

Уравнение не имеет решений

г) (у + 2)⁴ − (у + 2)² = 12

Обозначим: t = (у + 2)²

Получаем: t² − t = 12

Переносим: t² − t − 12 = 0

(t − 4)(t + 3) = 0 t₁ = 4, t₂ = −3

  1. (у + 2)² = 4 у + 2 = ±2 у₁ = 0, у₂ = −4

  2. (у + 2)² = −3 — невозможно (квадрат не может быть отрицательным)

д) (х² + 2х)(х² + 2х + 2) = 3

Обозначим: t = х² + 2х

Получаем: t(t + 2) = 3

Раскрываем: t² + 2t = 3

Переносим: t² + 2t − 3 = 0

(t + 3)(t − 1) = 0 t₁ = −3, t₂ = 1

  1. х² + 2х = −3 х² + 2х + 3 = 0 D = 4 − 12 = −8 < 0 — нет решений

  2. х² + 2х = 1 х² + 2х − 1 = 0 D = 4 + 4 = 8 х = (−2 ± 2√2)/2 = −1 ± √2

е) (х² − х − 16)(х² − х + 2) = 88

Обозначим: t = х² − х

Получаем: (t − 16)(t + 2) = 88

Раскрываем: t² + 2t − 16t − 32 = 88

Упрощаем: t² − 14t − 32 = 88

Переносим: t² − 14t − 120 = 0

D = 196 + 480 = 676 = 26² t = (14 ± 26)/2 t₁ = 20, t₂ = −6

  1. х² − х = 20 х² − х − 20 = 0 (х − 5)(х + 4) = 0 х₁ = 5, х₂ = −4

  2. х² − х = −6 х² − х + 6 = 0 D = 1 − 24 = −23 < 0 — нет решений

ж) (2х² + 7х − 8)(2х² + 7х − 3) − 6 = 0

Обозначим: t = 2х² + 7х

Получаем: (t − 8)(t − 3) − 6 = 0

Раскрываем: t² − 3t − 8t + 24 − 6 = 0

Упрощаем: t² − 11t + 18 = 0

D = 121 − 72 = 49 = 7² t = (11 ± 7)/2 t₁ = 9, t₂ = 2

  1. 2х² + 7х = 9 2х² + 7х − 9 = 0 D = 49 + 72 = 121 = 11² х = (−7 ± 11)/4 х₁ = 1, х₂ = −4,5

  2. 2х² + 7х = 2 2х² + 7х − 2 = 0 D = 49 + 16 = 65 х = (−7 ± √65)/4

Ответ: а) х = −3 ± √17; х = −3 ± √6; б) х = 4; х = −2; х = 1 ± √5; в) нет решений; г) у = 0; у = −4; д) х = −1 ± √2; е) х = 5; х = −4; ж) х = 1; х = −4,5; х = (−7 + √65)/4; х = (−7 − √65)/4

← Номер 320 · Номер 322 → · Все номера