Номер 311 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 311.
Докажите, что если число m является корнем уравнения ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, где a,b,c – некоторые числа, причем а ≠ 0, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь x = 1/m в уравнение и умножь результат на m⁴. Посмотри, что получится — должно совпасть с условием, что m — корень.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Дано уравнение: ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0
Нужно доказать: если m — корень, то 1/m — тоже корень.
Шаг 1. Подставим x = m в уравнение (по условию это корень): am⁴ + bm³ + cm² + bm + a = 0
Шаг 2. Теперь проверим, является ли 1/m корнем. Подставим x = 1/m в исходное уравнение: a(1/m)⁴ + b(1/m)³ + c(1/m)² + b(1/m) + a = 0
Шаг 3. Преобразуем это выражение: a/m⁴ + b/m³ + c/m² + b/m + a = 0
Шаг 4. Умножим всё уравнение на m⁴ (это можно делать, так как m ≠ 0, иначе первое уравнение теряло бы смысл): m⁴ · (a/m⁴ + b/m³ + c/m² + b/m + a) = m⁴ · 0
Получается: a + bm + cm² + bm³ + am⁴ = 0
Шаг 5. Переставим члены в порядке убывания степеней: am⁴ + bm³ + cm² + bm + a = 0
Шаг 6. Это в точности совпадает с условием, что m — корень первого уравнения! Значит, 1/m тоже является корнем исходного уравнения.
Что и требовалось доказать.