Номер 310 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 310.
Решите возвратное уравнение
10х4 – 77х3 + 150х2 – 77х + 10 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Уравнение возвратное — коэффициенты симметричны. Разделите на х², введите замену y = x + 1/x, найдите y из квадратного уравнения, затем решите две системы вида x + 1/x = y.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решаем возвратное уравнение 10х⁴ – 77х³ + 150х² – 77х + 10 = 0.
Шаг 1. Заметим особенность уравнения. Коэффициенты симметричны: 10, –77, 150, –77, 10. Это возвратное уравнение.
Шаг 2. Разделим обе части на х² (х ≠ 0): 10х² – 77х + 150 – 77/х + 10/х² = 0
Шаг 3. Перегруппируем: 10(х² + 1/х²) – 77(х + 1/х) + 150 = 0
Шаг 4. Введём замену. Пусть y = x + 1/x
Тогда y² = (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
Отсюда: x² + 1/x² = y² – 2
Шаг 5. Подставим в уравнение: 10(y² – 2) – 77y + 150 = 0
10y² – 20 – 77y + 150 = 0
10y² – 77y + 130 = 0
Шаг 6. Решаем квадратное уравнение. D = (–77)² – 4·10·130 = 5929 – 5200 = 729 = 27²
y₁ = (77 + 27)/(2·10) = 104/20 = 5,2
y₂ = (77 – 27)/(2·10) = 50/20 = 2,5
Шаг 7. Решаем обратные подстановки.
Для y = 5,2: x + 1/x = 5,2
x² – 5,2x + 1 = 0
D = 27,04 – 4 = 23,04 = 4,8²
x₁ = (5,2 + 4,8)/2 = 5
x₂ = (5,2 – 4,8)/2 = 0,2 = 1/5
Для y = 2,5: x + 1/x = 2,5
x² – 2,5x + 1 = 0
D = 6,25 – 4 = 2,25 = 1,5²
x₃ = (2,5 + 1,5)/2 = 2
x₄ = (2,5 – 1,5)/2 = 0,5 = 1/2
Шаг 8. Проверим (например, x = 5): 10·625 – 77·125 + 150·25 – 77·5 + 10 = 6250 – 9625 + 3750 – 385 + 10 = 0 ✓