Номер 283 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 283.
Решите уравнение:
а) у4 – 24у2 – 25 = 0;
б) х4 – 9х2 + 18 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих уравнениях используется только чётные степени переменной (у⁴ и у², или х⁴ и х²). Сделай замену переменной: обозначь квадрат переменной буквой t (например, t = у²). Тогда четвёртая степень будет t², и уравнение станет обычным квадратным.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) у⁴ – 24у² – 25 = 0
Шаг 1: Это уравнение четвёртой степени. Заметим, что оно содержит только чётные степени у. Сделаем замену переменной: обозначим у² = t, где t ≥ 0.
Шаг 2: Подставим замену в уравнение: t² – 24t – 25 = 0
Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Найдём дискриминант: D = 24² – 4·1·(–25) = 576 + 100 = 676 = 26²
Шаг 4: Находим корни: t₁ = (24 + 26)/2 = 50/2 = 25 t₂ = (24 – 26)/2 = –2/2 = –1
Шаг 5: Вспоминаем, что t = у². Так как t должно быть ≥ 0, то t = –1 не подходит. Берём только t = 25.
Шаг 6: Решаем у² = 25: у = 5 или у = –5
б) х⁴ – 9х² + 18 = 0
Шаг 1: Снова делаем замену: х² = t, где t ≥ 0.
Шаг 2: Подставляем: t² – 9t + 18 = 0
Шаг 3: Находим дискриминант: D = 9² – 4·1·18 = 81 – 72 = 9 = 3²
Шаг 4: Находим корни: t₁ = (9 + 3)/2 = 12/2 = 6 t₂ = (9 – 3)/2 = 6/2 = 3
Шаг 5: Оба значения положительные, значит оба подходят.
Шаг 6: Решаем х² = 6: х = √6 или х = –√6
Шаг 7: Решаем х² = 3: х = √3 или х = –√3