Номер 261 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 261.
Два слесаря выполнили задание за 12 ч. Если бы половину задания выполнил первый, а оставшуюся часть второй, то первому потребовалось бы времени на 5 ч больше, чем второму. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить задание?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь время первого слесаря как x часов, второго как y часов. Составь два уравнения: одно из условия совместной работы за 12 часов (1/x + 1/y = 1/12), другое из условия про половины задания (x/2 - y/2 = 5). Реши систему, подставив выражение x = y + 10 в первое уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим время, за которое первый слесарь выполняет всё задание, как x часов, а второй — как y часов.
Шаг 1: Составим уравнение из условия про совместную работу. Вместе они выполняют работу за 12 часов. За 1 час они делают 1/12 всей работы. Производительность первого: 1/x (часть задания в час) Производительность второго: 1/y (часть задания в час)
Первое уравнение: 1/x + 1/y = 1/12
Шаг 2: Составим уравнение из условия про половины. Первый выполняет половину задания (это 1/2 работы), ему требуется: (1/2) · x = x/2 часов Второй выполняет половину задания (это 1/2 работы), ему требуется: (1/2) · y = y/2 часов
По условию: первому потребовалось на 5 часов больше Второе уравнение: x/2 - y/2 = 5 или: x - y = 10
Шаг 3: Решаем систему уравнений. Из второго уравнения: x = y + 10
Подставляем в первое: 1/(y + 10) + 1/y = 1/12
Приводим к общему знаменателю: (y + y + 10)/(y(y + 10)) = 1/12 (2y + 10)/(y(y + 10)) = 1/12
Перемножаем крест-накрест: 12(2y + 10) = y(y + 10) 24y + 120 = y² + 10y y² + 10y - 24y - 120 = 0 y² - 14y - 120 = 0
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение. По формуле: y = (14 ± √(196 + 480))/2 = (14 ± √676)/2 = (14 ± 26)/2
y₁ = (14 + 26)/2 = 20 y₂ = (14 - 26)/2 = -6 (отрицательное значение отбрасываем)
Шаг 5: Находим x. x = y + 10 = 20 + 10 = 30
Шаг 6: Проверка. 1/30 + 1/20 = 2/60 + 3/60 = 5/60 = 1/12 ✓ x/2 - y/2 = 30/2 - 20/2 = 15 - 10 = 5 ✓