Номер 250 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 250.
Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше её числителя. Если из числителя вычестеть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на 1/6. Найдите эту дробь.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь числитель через x, тогда знаменатель x + 6. Составь уравнение, используя условие, что исходная дробь минус новая дробь равна 1/6. Реши полученное квадратное уравнение и выбери положительное решение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим числитель дроби как x, тогда знаменатель равен x + 6.
Исходная дробь: x/(x + 6)
После изменений:
- Числитель станет: x - 2
- Знаменатель станет: x + 6 + 2 = x + 8
- Новая дробь: (x - 2)/(x + 8)
По условию дробь уменьшилась на 1/6, значит: x/(x + 6) - (x - 2)/(x + 8) = 1/6
Решаем уравнение. Приведём левую часть к общему знаменателю: [x(x + 8) - (x - 2)(x + 6)] / [(x + 6)(x + 8)] = 1/6
Раскроем скобки в числителе: x(x + 8) = x² + 8x (x - 2)(x + 6) = x² + 6x - 2x - 12 = x² + 4x - 12
Числитель: x² + 8x - (x² + 4x - 12) = x² + 8x - x² - 4x + 12 = 4x + 12
Получаем: (4x + 12) / [(x + 6)(x + 8)] = 1/6
Раскроем знаменатель: (x + 6)(x + 8) = x² + 8x + 6x + 48 = x² + 14x + 48
Уравнение: (4x + 12) / (x² + 14x + 48) = 1/6
Перемножим крест-накрест: 6(4x + 12) = x² + 14x + 48 24x + 72 = x² + 14x + 48 0 = x² + 14x - 24x + 48 - 72 0 = x² - 10x - 24
Решаем квадратное уравнение: D = 100 + 96 = 196 = 14² x = (10 ± 14) / 2
x₁ = (10 + 14) / 2 = 12 x₂ = (10 - 14) / 2 = -2
Так как x — числитель дроби, он должен быть положительным (или дробь не имеет смысла при x = -2), берём x = 12.
Исходная дробь: 12 / (12 + 6) = 12/18 = 2/3
Проверка:
- Исходная дробь: 2/3
- После изменений: (12 - 2)/(12 + 8) = 10/20 = 1/2
- Разность: 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6 = 1/6 ✓