Номер 227 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 227.
Решите уравнение:
а) (х2 – 1)(х2 + 1) – 4(х2 – 11) = 0;
б) 3х2(х – 1)(х + 1) – 10х2 + 4 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих уравнениях используй формулы сокращённого умножения. В пункте а) заметь разность квадратов (х² – 1)(х² + 1) = х⁴ – 1. В пункте б) подумай о замене переменной t = x², так как уравнение зависит только от x² (биквадратное уравнение).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Пункт а) (х² – 1)(х² + 1) – 4(х² – 11) = 0
Раскроем первое произведение по формуле разности квадратов: (х² – 1)(х² + 1) = (х²)² – 1² = х⁴ – 1
Раскроем скобки во втором слагаемом: –4(х² – 11) = –4х² + 44
Подставим в уравнение: x⁴ – 1 – 4x² + 44 = 0
Приведём подобные члены: x⁴ – 4x² + 43 = 0
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: t = x² t² – 4t + 43 = 0
Найдём дискриминант: D = (–4)² – 4·1·43 = 16 – 172 = –156 < 0
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет решений.
Пункт б) 3х²(х – 1)(х + 1) – 10х² + 4 = 0
Упростим произведение (х – 1)(х + 1) = х² – 1
Раскроем скобки: 3x²(x² – 1) – 10x² + 4 = 0
Раскроем скобки: 3x⁴ – 3x² – 10x² + 4 = 0
Приведём подобные члены: 3x⁴ – 13x² + 4 = 0
Сделаем замену: t = x² 3t² – 13t + 4 = 0
Найдём дискриминант: D = (–13)² – 4·3·4 = 169 – 48 = 121 = 11²
Найдём корни: t₁ = (13 + 11)/(2·3) = 24/6 = 4 t₂ = (13 – 11)/(2·3) = 2/6 = 1/3
Вернёмся к переменной х: Если x² = 4, то x = 2 или x = –2 Если x² = 1/3, то x = 1/√3 = √3/3 или x = –√3/3
Упростим ответ: x = ±2 или x = ±√3/3