Номер 165 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 165.
Решите уравнение:
а) (х – 1)2 + (х + 1)2 = (х + 2)2 – 2х + 2;
б) (2х – 3)(2х + 3) – 1 = 5х + (х – 2)2.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрывай скобки, используя формулы: (a ± b)² = a² ± 2ab + b² и (a – b)(a + b) = a² – b². Упрости обе части уравнения, перенеси всё в одну сторону и реши квадратное уравнение через дискриминант.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) (х – 1)² + (х + 1)² = (х + 2)² – 2х + 2
Раскроем скобки в левой части: (х – 1)² = х² – 2х + 1 (х + 1)² = х² + 2х + 1 Левая часть: х² – 2х + 1 + х² + 2х + 1 = 2х² + 2
Раскроем скобки в правой части: (х + 2)² = х² + 4х + 4 Правая часть: х² + 4х + 4 – 2х + 2 = х² + 2х + 6
Получаем уравнение: 2х² + 2 = х² + 2х + 6
Перенесём все в левую часть: 2х² + 2 – х² – 2х – 6 = 0 х² – 2х – 4 = 0
Решаем через дискриминант: D = (–2)² – 4 · 1 · (–4) = 4 + 16 = 20 х = (2 ± √20) / 2 = (2 ± 2√5) / 2 = 1 ± √5
Ответ: х = 1 + √5 ≈ 3,24 или х = 1 – √5 ≈ –1,24
б) (2х – 3)(2х + 3) – 1 = 5х + (х – 2)²
Раскроем левую часть (разность квадратов): (2х – 3)(2х + 3) = 4х² – 9 Левая часть: 4х² – 9 – 1 = 4х² – 10
Раскроем правую часть: (х – 2)² = х² – 4х + 4 Правая часть: 5х + х² – 4х + 4 = х² + х + 4
Получаем уравнение: 4х² – 10 = х² + х + 4
Перенесём все в левую часть: 4х² – 10 – х² – х – 4 = 0 3х² – х – 14 = 0
Решаем через дискриминант: D = (–1)² – 4 · 3 · (–14) = 1 + 168 = 169 = 13² х = (1 ± 13) / 6 х₁ = (1 + 13) / 6 = 14 / 6 = 7/3 ≈ 2,33 х₂ = (1 – 13) / 6 = –12 / 6 = –2
Ответ: х = 7/3 или х = –2