Номер 160 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 160.
При каком значении n графики у = 2х2 − 5х + 6 и у = х2 − 7х + n имеют только одну общую точку? Найдите координаты этой точки.
💡 Подсказка (без ответа)
Две кривые имеют одну общую точку, когда уравнение, полученное приравниванием их формул, имеет единственное решение. Используй условие дискриминанта для квадратного уравнения.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Графики двух функций имеют только одну общую точку, когда уравнение, приравнивающее их, имеет ровно одно решение. Составим это уравнение.
Шаг 1. Приравняем правые части функций: 2x² − 5x + 6 = x² − 7x + n
Шаг 2. Перенесём всё в левую часть: 2x² − 5x + 6 − x² + 7x − n = 0
Шаг 3. Упростим: x² + 2x + (6 − n) = 0
Шаг 4. Чтобы это уравнение имело ровно одно решение, его дискриминант должен быть равен нулю: D = b² − 4ac = 0
Здесь a = 1, b = 2, c = (6 − n)
D = 2² − 4·1·(6 − n) = 0 4 − 24 + 4n = 0 4n − 20 = 0 4n = 20 n = 5
Шаг 5. Найдём координаты общей точки. Подставим n = 5 в уравнение: x² + 2x + (6 − 5) = 0 x² + 2x + 1 = 0 (x + 1)² = 0 x = −1
Шаг 6. Найдём y-координату, подставив x = −1 в первую функцию: y = 2(−1)² − 5(−1) + 6 y = 2·1 + 5 + 6 y = 2 + 5 + 6 y = 13
Проверка во второй функции при n = 5: y = (−1)² − 7(−1) + 5 = 1 + 7 + 5 = 13 ✓