Номер 958 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 958.
Среди данных неравенств укажите неравенство, решением которого являяется любое действительное число, и неравенство, не имеющее решений:
1) x² + 1/x² ≥ 0; 2) x² + 1/x² + 1 < 1; 3) x² – 1/x² – 1 ≥ 1; 4) x²/x² + 1 ≥ 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Проверь область определения каждого неравенства. Вспомни, что квадрат любого числа неотрицателен. При анализе дроби обрати внимание, может ли знаменатель быть равен нулю и какой знак имеет числитель.
Решение по шагам
Разберём каждое неравенство по отдельности.
1) x² + 1/x² ≥ 0
Область определения: x ≠ 0 (т.к. есть деление на x²).
Для любого x ≠ 0:
- x² > 0 (квадрат любого числа положителен)
- 1/x² > 0 (положительное число делим на положительное)
- Сумма: x² + 1/x² > 0
Значит, неравенство верно для всех x из области определения, но это не «любое действительное число» (исключено x = 0).
2) x² + 1/x² + 1 < 1
Область определения: x ≠ 0.
Упростим: x² + 1/x² + 1 < 1 x² + 1/x² < 0
Но x² ≥ 0 и 1/x² > 0, поэтому x² + 1/x² > 0.
Неравенство неверно ни для одного значения x. Это неравенство не имеет решений.
3) x² – 1/x² – 1 ≥ 1
Область определения: x ≠ 0.
Упростим: x² – 1/x² – 1 ≥ 1 x² – 1/x² ≥ 2
Это сложное неравенство. Оно имеет решения (например, x = 2), но не для всех x.
4) x²/(x² + 1) ≥ 0
Область определения: все действительные числа (x² + 1 > 0 всегда).
Для любого x:
- x² ≥ 0 (квадрат неотрицателен)
- x² + 1 > 0 (всегда положительно)
- Дробь: x²/(x² + 1) ≥ 0
Это неравенство верно для любого действительного числа.