Номер 941 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 941.
Сравните:
1) $$\sqrt{6}$$ + $$\sqrt{3}$$ и $$\sqrt{7}$$ + $$\sqrt{2}$$; 2) $$\sqrt{26}$$ – $$\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{14}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Чтобы сравнить суммы и разности корней, возведи обе части в квадрат. Помни: если a > 0 и b > 0, и a² > b², то a > b. После возведения в квадрат упрости выражения и продолжай сравнивать, пока не избавишься от корней.
Решение по шагам
Оба выражения сравниваем, возводя в квадрат. Так как обе части положительные, если a² > b², то a > b.
Пункт 1) Сравнить √6 + √3 и √7 + √2
Пусть A = √6 + √3 и B = √7 + √2
Возведём обе части в квадрат:
A² = (√6 + √3)² = 6 + 2√6·√3 + 3 = 9 + 2√18 = 9 + 2·3√2 = 9 + 6√2
B² = (√7 + √2)² = 7 + 2√7·√2 + 2 = 9 + 2√14
Теперь сравниваем A² и B²: 9 + 6√2 и 9 + 2√14
Осталось сравнить: 6√2 и 2√14
Разделим обе части на 2: 3√2 и √14
Возведём ещё раз в квадрат (обе части положительные): (3√2)² = 9·2 = 18 (√14)² = 14
Поскольку 18 > 14, то 3√2 > √14, значит 6√2 > 2√14
Следовательно, A² > B², поэтому A > B
Ответ: √6 + √3 > √7 + √2
Пункт 2) Сравнить √26 – √2 и √14
Пусть C = √26 – √2 и D = √14
Возведём обе части в квадрат:
C² = (√26 – √2)² = 26 – 2√26·√2 + 2 = 28 – 2√52 = 28 – 2·2√13 = 28 – 4√13
D² = (√14)² = 14
Сравниваем: 28 – 4√13 и 14
Переносим: 28 – 14 и 4√13 14 и 4√13
Разделим на 2: 7 и 2√13
Возведём в квадрат: 7² = 49 (2√13)² = 4·13 = 52
Поскольку 49 < 52, то 7 < 2√13, значит 14 < 4√13
Следовательно, 28 – 4√13 < 14, поэтому C² < D², а значит C < D
Ответ: √26 – √2 < √14