Номер 936 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 936.
Докажите, что если 1/a > 1/b > 0, то a < b.
💡 Подсказка (без ответа)
Преобразуй разность 1/a - 1/b, приведи к общему знаменателю и проанализируй знак полученной дроби, учитывая, что a и b положительны.
Решение по шагам
Доказательство:
Дано: 1/a > 1/b > 0
Нужно доказать: a < b
Шаг 1. Из условия 1/a > 1/b > 0 следует, что оба числа 1/a и 1/b положительные. Значит, a > 0 и b > 0 (так как обратные им числа положительны).
Шаг 2. Рассмотрим неравенство 1/a > 1/b. Вычтем из левой части правую:
1/a - 1/b > 0
Шаг 3. Приведём к общему знаменателю:
(b - a)/(ab) > 0
Шаг 4. Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Так как a > 0 и b > 0 (из шага 1), то ab > 0 (знаменатель положительный).
Шаг 5. Чтобы вся дробь (b - a)/(ab) была положительной при положительном знаменателе ab, числитель должен быть положительным:
b - a > 0
Шаг 6. Отсюда получаем:
a < b
Что и требовалось доказать. ✓