Номер 888 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 888.
Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:
1) a²/a⁴ + 1 ≤ 1/2; 2) (5a + 1)²/5 ≥ 4a.
💡 Подсказка (без ответа)
Умножьте обе части неравенства на положительное число, чтобы избавиться от дроби. Затем перенесите всё в одну сторону и посмотрите, сможете ли вы заметить полный квадрат (выражение вида (x - y)²).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Пункт 1) a²/(a⁴ + 1) ≤ 1/2
Нужно доказать, что это неравенство верно при любых значениях a.
Шаг 1: Умножим обе части неравенства на 2(a⁴ + 1). Поскольку a⁴ + 1 > 0 при любых a, знак неравенства не меняется:
2a² ≤ a⁴ + 1
Шаг 2: Перенесём всё в левую часть:
a⁴ - 2a² + 1 ≥ 0
Шаг 3: Заметим, что это полный квадрат:
(a²)² - 2·a²·1 + 1² = (a² - 1)² ≥ 0
Шаг 4: Квадрат любого выражения всегда неотрицателен, поэтому (a² - 1)² ≥ 0 верно при любых a.
Что и требовалось доказать.
Пункт 2) (5a + 1)²/5 ≥ 4a
Нужно доказать, что это неравенство верно при любых значениях a.
Шаг 1: Умножим обе части на 5 (5 > 0, знак не меняется):
(5a + 1)² ≥ 20a
Шаг 2: Раскроем скобки слева:
25a² + 10a + 1 ≥ 20a
Шаг 3: Перенесём всё в левую часть:
25a² + 10a + 1 - 20a ≥ 0
25a² - 10a + 1 ≥ 0
Шаг 4: Заметим, что это полный квадрат:
(5a)² - 2·5a·1 + 1² = (5a - 1)² ≥ 0
Шаг 5: Квадрат любого выражения всегда неотрицателен, поэтому (5a - 1)² ≥ 0 верно при любых a.
Что и требовалось доказать.