Номер 886 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 886.
Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем – 2.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь отрицательное число как -a (где a > 0), найди ему обратное число. Переведи неравенство, которое нужно доказать. Используй неравенство (a - 1/a)² ≥ 0 или свойство среднего арифметического и геометрического.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим отрицательное число как -a, где a > 0. Тогда число, обратное ему, будет -1/a, где 1/a > 0.
Нужно доказать, что (-a) + (-1/a) ≤ -2
Скупим левую часть: -a - 1/a ≤ -2
Умножим обе части на (-1), при этом знак неравенства переворачивается: a + 1/a ≥ 2
Теперь докажем, что это верно для любого положительного a.
По неравенству между арифметическим и геометрическим средним (или методом выделения квадрата):
Рассмотрим выражение (a - 1/a)² ≥ 0
Это верно для любого a > 0, так как квадрат любого числа неотрицателен.
Раскроем скобки: a² - 2·a·(1/a) + 1/a² ≥ 0
a² - 2 + 1/a² ≥ 0
a² + 1/a² ≥ 2
Прибавим к обеим частям 2a·(1/a) = 2: a² + 1/a² + 2 ≥ 2 + 2
(a + 1/a)² ≥ 4
Это можно также записать как: (a + 1/a)² ≥ 4
Так как a > 0, то a + 1/a > 0, поэтому: a + 1/a ≥ 2
Вернёмся к исходному неравенству: -a - 1/a ≤ -2
Это означает, что сумма двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем -2.
Причём равенство достигается, когда a = 1/a, то есть a = 1, и числа равны -1 и -1.
Что и требовалось доказать.