Номер 885 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 885.
Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных положительных чисел не меньше чем 2.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь одно число буквой а, второе (взаимно обратное) — это 1/а. Нужно доказать неравенство а + 1/а ≥ 2. Перенеси 2 в левую часть и приведи к общему знаменателю. Посмотри, что получится в числителе — это же полный квадрат!
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим одно положительное число как а, тогда взаимно обратное ему число будет 1/а (где а > 0).
Нужно доказать, что: а + 1/а ≥ 2
Шаг 1. Рассмотрим разность между левой и правой частями: a + 1/a - 2
Шаг 2. Приведём к общему знаменателю: (a² + 1)/a - 2 = (a² + 1 - 2a)/a = (a² - 2a + 1)/a
Шаг 3. Заметим, что в числителе стоит полный квадрат: a² - 2a + 1 = (a - 1)²
Получаем: (a - 1)²/a
Шаг 4. Анализируем полученное выражение:
- Числитель (a - 1)² ≥ 0 при любых значениях а (квадрат всегда неотрицателен)
- Знаменатель a > 0 по условию
Значит, (a - 1)²/a ≥ 0
Шаг 5. Вывод: Так как a + 1/a - 2 ≥ 0, то a + 1/a ≥ 2
Что и требовалось доказать.
Примечание: Равенство a + 1/a = 2 достигается только при a = 1 (так как (a - 1)² = 0 только при a = 1).